Mühazirə kursu Азярбайжан Республикасы Тящсил Назирлийинин

fizikada inteqral cəmin limiti kimi deyil, böyük sayda olan 
kifayət  qədər  kiçik


i
i
x
x
f
)
(
 toplananların  cəmi  kimi 
başa düşülməlidir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

28 
 
MÜHAZIRƏ 2. 
Əyrixətli hərəkət 
 
 
1.  Əyrixətli  hərəkətdə  sürət  və  təcil.  Maddi  nöqtənin 
ani sürəti aşağıdakı ifadə ilə təyin edilir 
                            


r
dt
r
d
t
r
V
t








/
/
lim
0



               (2.1) 
yəni,  ani  sürət  radius  vektorun  zamana  görə  törəməsidir.  O, 
nöqtənin  hərəkət  trayektoriyasına    toxunan  istiqamətdə 
yönəlmişdir.  Fizikada  zamana  görə  törəməni  ştrixlə  deyil, 
hərfin üzərində (∙) ilə işarə edrlər. 
Şəkil 1.8-dən göründüyü kimi, 
S
r
t






0
, buna 
görə də sürətin modulu 
                           


.
/
/
lim
0
S
dt
dS
t
S
V
t








             (2.2) 
Cismin  hərəkəti  zamanı  onun  hərəkət  istiqaməti  də  dəyişə 
bilər,  yəni  sürət  hərəkətin  həm  qiymət,  həm  də  istiqamətcə 
dəyişməsini  xarakterizə  edir.  Bu  halda    sürət  vektorunun 
modulu aşağıdakı kimi təyin olunur: 
2
2
2
2
2







r
r
r




 
burada 
r


və 



vektorları qarşılıqlı perpendikulyar vektorlardır 
(şəkil 2.1). 
 
Şəkil 2.1 
 
 
Madddi nöqtənin hər bir 
zaman anında  malik olduğu 
sürəti 
bilməklə 
onun 
1
t
zaman  anından 
2
t
zaman 
anına 
qədər 
müddətdə 

29 
 
getdiyi yolu aşağıdakı kimi təyin edə bilərik 


2
1
)
(
t
t
dt
t
S

 
Hərəkəti  trayektoriyanın  parametrləri  ilə  də  təsvir  etmək 
olar.  Bunun  üçün  trayektoriya  üzərində  müəyyən  başlanğıc 
nöqtə götürək. Bu zaman istənilən digər nöqtə ondan olan S(t)  
məsafəsi  ilə  xarakterizə  oluna  bilər.  Radius  vektor    isə  
 
 
t
S
r
r



 şəklində mürəkkəb funksiya olacaq.  Buna görə də 
(2.1)-dən  alarıq: 
   








V
dt
dS
dS
r
d
dt
r
d
V



/
/
/
 
burada 
dS
r
d /




-  trayektoriyaya  toxunan,  vahid  vektor; 
dt
dS
V
/

-sürətin moduludur.   BS-də sürət m/san ilə ölçülür. 
(1.12) və  (2.1) düsturlarını nəzərə almaqla 
          

 
 

k
V
j
V
i
V
k
z
j
y
i
x
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
dt
r
d
V
z
y
x

























/
/
/
/
        (2.3) 
burada   
    
dt
dz
z
V
dt
dy
y
V
dt
dx
x
V
z
y
x
/
,
/
,
/









    (2.4) 
-sürətin  komponentləri  olub,  uyğun  koordinatın  zamana  görə 
törəmələrinə bərabərdir. 
Şəkil 1.7-də 


 vahid toxunan vektoru göstərir və 
V

 sürətin 
istiqaməti ilə üst-üstə düşür, buna görə də  
                                




V
V
                                     (2.5) 
2.  Təcil.  Sürətin  dəyişmə  yeyinliyini  xarakterizə  etmək 
üçün 
a

 təcil  adlanan  vektori  fiziki  kəmiyyət  daxil  edilir.  O  da 
sürətə analoji təyin edilir: 
               




 
t
r
dt
r
d
dt
V
d
t
V
a
t














2
2
0
/
/
/
lim
       (2.6) 
(2.3) və (2.4)-i nəzərə almaqla (2.6)-dan taparıq:  
                       
k
a
j
a
i
a
a
z
y
x







                           (2.7) 
2
2
2
2
2
2
/
,
/
,
/
dt
z
d
z
a
dt
y
d
y
a
dt
x
d
x
a
z
y
x












      (2.8) 

30 
 
-təcilin  komponentləri  olub  uyğun  koordinatların  zamana  görə 
ikinci tərtib törəmələrinə bərabərdir. 
(2.5) və (2.6) ifadələrini nəzərə almaqla  
     
 




dt
d
V
dt
dV
dt
V
d
dt
V
d
a
/
/
/
/












        (2.9) 
Göstərmək olar ki,  
                          


n
R
V
dt
d


/
/


                              (2.10) 
burada  R-trayektoriyanın  verilmiş  nöqtəsində  əyrilik  radiusu, 
n

-  t  zaman  anında  cisim  olduğu    nöqtədə  trayektoriyaya 
normal  vahid  vektordur.    Bu  zaman 
n

 və 


 qarşılıqlı 
perpendikulyardır ( bax şəkil 2.2). 
 
Şəkil  2.2 
 
Əyrixətli  trayektoriyanın  ayrı-ayrı  hissələri  müxtəlif 
radiuslu  çevrələrun  qövsləri  kimidir.    Bu  çevrənin  radiusu  R 
(şəkil 2.2) baxılan nöqtədə xəttin əyriliyini xarakterizə edir və 
əyrilik radiusu adlanır. (2.10)-u (2.9)-da nəzərə alsaq  




n
a
a
n
R
V
dt
dV
dt
V
d
a













/
/
/
2
         (2.10) 
burada 
                                






dt
dV
a
/

                        (2.11) 

a

-toxunan və ya tangensial  təcildir. Qiymətinə görə o sürətin 
modulunun dəyişmə yeyinliyini xarakterizə edir: 
                     
2
2
/
/
dt
S
d
dt
dV
a



                    (2.12) 

 
 
 
Yeyinləşən  hərəkətdə 
0
/

dt
dV
 və 

a

 istiqamətinə  görə 
V

 sürətlə  üst-üstə  düşür,  yavaşıyan  hərəkətdə 
0
/

dt
dV
 və 

a

 sürətin 
V

 əksinə yünəlmişdir. (2.10)-da ikinci hədd  
                         


n
R
V
a
n


/
2

                                 (2.13) 
-normal  təcil  olub,  sürət  vektorunun  istiqamətinin  dəyışmə 
yeyinliyini  xarakterizə  edir  və  həmişə  trayektoriyanın  əyrilik 
mərkəzinə  doğru  yönəlmişdir.  Şəkil  2.3-də  təcilli  hərəkət  halı 
üçün 

a
a


,
və 
n
a

 vektorları göstərilmişdir. 
 
Şəkil  2.3 
 
Nöqtənin təcilinin modulu 
    




2
2
2
2
2
/
/
R
V
dt
dV
a
a
a
a
n







    (2.14) 
Təcil BS-də m/san
2
 -ilə ölçülür. 
3.  Bucaq  sürəti    və  bucaq  təcili.  Maddi  nöqtənin  R 
radiuslu çevrə boyunca hərəkətinə baxaq (şəkil 2.4). 
 
Şəkil 2.4 
 

32 
 
Fərz  edək  ki,  nöqtə 
t

 müddətində 


 bucağı  qədər  dönür, 
onda bucaq sürəti 
           














dt
d
t
t
/
/
lim
0
                    (2.15) 
Bucaq  sürəti  saniyədə  radianla  ölçülür  [

]=rad/san.  Bucaq 
sürəti  psevdovektordur.  Bucaq  sürətinin  psevdovektorla 
göstərilməsinin  səbəbi  odur  ki,  cisim  eyni  zamanda    bir  neçə 
fırlanma  hərəkətində  iştirak  etdikdə  alınan  ümumi  fırlanma 
hərəkəti,  toplanan  fırlanma  hərəkətlərinin  bucaq  sürətlərinin 
paraleloqram  qaydası  ilə  toplanmasından  alınan  əvəzləyici 
vektor  vasitəsilə  xarakterizə  olunsun.  Bucaq  sürəti  vektorunun 
istiqaməti burğu qaydası ilə təyin edilir. Bu vektorun istiqaməti 
burğunun  irəliləmə  hərəkəti  istiqamətində,  fırlanma  istiqaməti 
isə  burğu  dəsətyinin  fırlanması  istiqamətində  götürülür  (şəkil 
2.5). 
 
Şəkil 2.5 
 
Bir halda  ki, 
R
S




, onda 









R
dt
d
R
dt
dS
t
S
V
t





/
/
/
lim
0
          (2.16) 
Bucaq  təcili  bucaq  sürətinin  dəyişmə  yeyinliyini  xarakterizə 
edir, yəni  
            









2
2
/
/
dt
d
dt
d
              (2.17) 
O toxunan təcillə aşağıdakı ifadə ilə əlaqədardır 
      




R
R
dt
d
dt
R
d
dt
dV
a








/
/
/
                (2.18) 
Bucaq təcili saniyə kvadratında radianla (rad/san
2
) ölçülür.  

 
 
 
(2.16)  və  (2.17)  ifadələrini  nəzərə  almaqla    (2.14)  ifadəsindən 
alarıq 
   
4
2
2
2
2
2
2












R
R
R
a
a
a
a
n

  (2.19) 
 
4. Bərk cismin irəliləmə və fırlanma hərəkəti. Yalnız elm 
tarixi deyil, insanın gündəlik təcrübəsi də göstərir ki, hər hansı 
yeni  hadisənin  öyrənilməsinə  onun  bütün  tərəfləri  və 
detallarının  çox mürəkkəb izahının axtarılmasından deyil, sadə 
qanunauyğunluqların 
anlaşılmasından, 
daha 
mürəkkəb 
mənzərənin  anlanılmasına  doğru  irəliləməklə  başlamaq 
lazımdır.  Biz  də  mexanikanın  öyrənilməsinə  ən  sadə  hərəkət 
tiplərinə    baxmaqla  başlayacaq,  sonra  isə  öyrənilən  hərəkətin 
dairəsini  genişləndirəcəyik.  Uçan  quşun  müəyyən  anda 
seçilmiş  koordinat  sistemində  vəziyyətini  təyin  etmək  üçün 
onun  qanadlarının,  bədəninin,  başının,  quyruğunun  müxtəlif 
nöqtələrinin radius-vektorlarını bilmək lazımdır (şəkil 2.6).  
 
 
Şəkil 2.6 
Bu  zaman  uçuşun  riyazi  təsviri  üçün  zamandan  asılı  olan  
böyük  sayda  ifadələrdən  istifadə  etmək  zəruri  olacaqdır  ki,  bu 
da  uçuş  trayektoriyasının  təyin  etilməsi  məsələsini  qeyri-adi 
dərəcədə  çətinləşdirəcək.  Odur  ki,  ilk  mühüm  sadələşdirmə 
aparaq.  Ilk  mərhələdə  yalnız  mütləq  bərk  cismin  hərəkətini 

34 
 
öyrənəcəyik.  Bu  termin  adı  altında  hərəkət  zamanı 
deformasiyası,  yəni  cismin  bir  hissəsinin  digər  hissəsinə 
nəzərən yerdəyişməsi, nəzərə alınmayan cisimlər başa düşülür. 
Mütləq bərk cismin hərəkət qanunlarının nisbi sadəliyi həm də 
onunla  əlaqədardır  ki,  onun  vəziyyətinin  hər  hansı  koordinat 
sistemində  tam  riyazi  təsviri  zamanı  deformasiya  oluna  bilən 
cisim  üçün  olduğundan  daha  az  parametr  (koordinat)  tələb 
olunur.  Cismin  fəzada  vəziyyətini  birmənalı  təyin  edən,  asılı 
olmayan  parametrlərin  sayı  sərbəstlik  dərəcələrinin  sayı 
adlanır. Mütləq bərk cismin sərbəstlik dərəcələrinin sayı altıya 
bərabərdir.  Üçü  A    nöqtəsinin  koordinatı  -  x
A
  ,  y
A
  ,  z
A
    və  üç 
dönmə bucağı - 

,  

 , 

 (şəkil 2.7). 
 
Şəkil 2.7 
 
Beləliklə,  mütləq  bərk  cismin  ixtiyari  hərəkətinin  təsviri 
üçün  6  parametrin  zamandan  asılı  olaraq  necə  dəyişdiyini 

 
 
 
bilmək  lazımdır:  x
A
(t),  y
A
(t),  z
A
(t),   

(t), 

(t), 

(t).  Hələlik,  
bərk  cismin  hərəkət  qanunlarını,  yəni  bu  funksiyaları  təyin 
etməyə  imkan  verən  ifadələri    bilməsək  də  əvvəlcədən  deyə 
bilərik  ki,  bu  qanunlar  ümumi  halda  çox  çətin  olacaq.  Çünki 
məchulların  sayı  çox  olduqca    məsələnin  həlli    bir  o  qədər 
çətindir.  Buna  görə  də  əvvəlcə  elə  hərəkətə  baxaq  ki,  onun 
təsviri zamandan asılı olan çox sayda kəmiyyət tələb etməsin. 
Bunun  üçün  qeyd  edək  ki,  mütləq  bərk  cismin  istənilən 
hərəkətini  hərəkətin  iki  əsas  növü-  irəliləmə  və  fırlanma 
hərəkətləri  şəklində  təsvir  etmək  olar.  İrəliləmə  hərəkəti 
dedikdə elə hərəkət başa düşülür ki, hərəkət edən cisimlə bağlı 
olan    istənilən  düz  xətt  hərəkət  zamanı  öz-özünə  paralel  qalır 
(şəkil  2.8).  Fırlanma  hərəkətində  cismin  bütün  nöqtələri 
mərkəzi  fırlanma  oxu  adlanan  eyni  bir  düz  xəttin  üzərində 
qalan çevrələr üzrə  hərəkət edir (şəkil 2.9). 
 
 
Şəkil 2.8 
 
Şəkil 2.9 
 
Bu zaman cismin orientasiyası dəyişir. 
Mütləq  bərk  cisim  yalnız    irəliləmə  hərəkəti  edirsə  onda 
onun  fəzadakı  bütün  vəziyyəti  onun  hər  hansı  bir  nöqtəsinin 
vəziyyəti    ilə  birqiymətli  təyin  edilir.  Beləliklə,  mütləq  bərk 
cismin irəliləmə hərəkətinin riyazi təsviri zamanı  onun ölçüləri 
rol  oynamır  və  bütün  bu  cisim  fəzada  vəziyyəti  ümumi  halda  
üç sərbəstlik dərəcəsi ilə təyin edilən nöqtə ilə əvəz edilə bilər. 
Qeyd  edək  ki,  real  cismin  maddi  nöqtə  ilə  əvəz  edilməsi 

36 
 
qoyulmuş  məsələ  çərçivəsində  cismin  ölçülərinin  nəzərə 
alınmadığı  hallarda  da  özünü  doğruldur.  Maddi  nöqtə 
yaxınlaşmasının mexanikada oynadığı çox mühüm rol daha bir 
vacib səbəblə əlaqədardır. Məsələ ondadır ki, istənilən formalı 
və istənilən ölçülü cismi  bir biri ilə qarşılıqlı təsirdə olan çox 
kiçik  hissəciklərin  məcmusu  kimi  təsəvvür  etmək  olar.  Bu 
hissəciklərin  hər  birinə  maddi  nöqtə  kimi  baxmaq  olar  və 
beləliklə,  istənilən  cismin  hərəkəti  haqqında  məsələni  maddi 
nöqtələr  məcmusunun  hərəkəti  haqqında  məsələyə  gətirmək 
olar.  Sonralar    görəcəyik  ki,  bərk  cismin  fırlanma  hərəkətinin 
və  mayelərin  hərəkət  qanunlarının  tapılması  üçün  bu  üsuldan 
istifadə edilir.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
MÜHAZIRƏ 3 
Maddi nöqtə dinamikasının elementləri 
 
1.  Klassik  mexanikada  hissəciklərin  halı  anlayışı. 
Hərəkətin  təbiət  qanunları  ilə  təyin  edilməyən  elementləri 
başlanğıc şərtlər adlanır. Nyuton əsrinin gözəl kəşflərindən biri 
də  təbiət  qanunlarının  başlanğıc  şərtlərdən  fərqləndirilməsidir. 
Başlanğıc  şərtlər  müəyyən  qanunauyğunluğa  tabe  deyil,  onlar 
arasında əlaqə yoxdur. Başlanğıc şərtlərin əhəmiyyəti sistemin 
əvvəlki  təkamülündən    asılıdır.  Bu  və  ya  digər  məsələni  həll 
etmək  üçün  onlar  təcrübi  təyin  edilməli  və  ya  baxılan 
məsələnin  qoyulmasının  obyektiv  şərtlərini  nəzərə  alan  hər 
hansı  təsəvvürlərin  köməyi  ilə    verilməlidir.  Klassik 
mexanikada  mexaniki    sistemin  halını  (başlanğıc  şərtləri)  
xarakterizə  edən  parametrlər  bu  sistemi  təşkil  edən  maddi 
nöqtələrin  (hissəciyin)  bütün  koordinatlarının  və  impulslarının 
məcmusu  hesab  olunur.  Mexaniki  sistemin  halının  verilməsi 
bütün  maddi nöqtələrin bütün koordinatlarının r
i
(x
i
 ,  y
i
 , z
i
)  və 
impulslarının  p
i
  verilməsi  deməkdir.  Bu  kəmiyyətlər  ixtiyari 
qiymət  ala  bilərlər:  istənilən  hissəciyin  vəziyyəti  və  impulsu 
bütün  digər  hissəciklərin  vəziyyətindən    və  impulsundan  asılı 
deyil.  Başlanğıc  şərtlər  təbiət  qanunları  (Nyutonun  ikinci 
qanunu) ilə birlikdə obyektin  mümkün  hərəkətini  təyin edir. 
Bu,  bütün  hissəciklərin  koordinatları    və  impulslarının  
məcmusuna sistemin halının xarakteristikası kimi baxılmasının 
əsas şərtidir. Hərəkət tənlikləri bu halın təkamülünü birmənalı 
təsvir edir. Onlar qüvvədən asılı olaraq  hissəciyin təcilini təyin 
edir.  Qüvvə  hissəciklər  arasındakı  məsafənin  və  onların  nisbi 
sürətinin birqiymətli funksiyasıdır. Koordinatlar və impulslar 
Nyuton  mexanikasında        sistemin  halını  təyin  edən  əsas 
fiziki kəmiyyətlərdir. Mexanika üçün  maraq kəsb edən  bütün 
digər  mexaniki  kəmiyyətlər  (enerji,  impuls  momenti  və  s.) 
koordinatın və impulsun funksiyası şəklində ifadə edilir.   

38 
 
2.  Dinamikanın  əsas  məsələsi.  Dinamikanın  əsas 
məsələsi  sistemin  başlanğıc  halını  və  hərəkət  qanunlarını 
(Nyuton  qanunlarını)  bilərək    sonrakı  bütün  zaman  anlarında  
sistemin halını birqiymətli təyin etmək, yəni hissəciyin hərəkət 
trayektoriyasını  birmənalı  təyin  etməkdən  ibarətdir.  Hərəkət 
trayektoriyası  differensial  hərəkət  tənliyinin  inteqrallanması  
yolu ilə tapılır.  
Bərabərsürətli hərəkət. 
Irəliləmə hərəkətində:  
0
0
s
t
dt
s
t






   
Fırlanma hərəkətində: 
0
0








t
dt
t
 
Bərabərtəcilli hərəkət. 
Irəliləmə hərəkətində: 
0
0






t
a
dt
a
t
,  
            








t
t
s
at
t
dt
t
a
dt
s
0
0
2
0
0
0
2
)
(



  
Fırlanma hərəkətində: 
0
0








t
dt
t
,  
            








t
t
t
t
dt
t
dt
0
0
2
0
0
0
2
)
(







 
Hərəkətin  trayektoriyası  hissəciyin  keçmişdə,  indi  və 
gələcəkdəki  hərəkətini  tam  təsvir  edir,  yəni  determinlik 
(hadisələrin  qanunauyğunluğu  və  səbəbiyyət  əlaqəsindən  asılı 
olması)  və  dönənlik  xassələri  ilə    xarakterizə  olunur.  Burada 
təsadüflik  elementi  tamamilə  istisnadır,  hər  şey  əvvəlcədən 
səbəb-nəticə  ilə  şərtlənmişdir.  Elmdə  belə  bir  nöqteyi  nəzər 
təsdiq  edilmişdir  ki,  təbiətdə    səbəbiyyəti  yalnız  dinamik 

 
 
 
qanunlar tam əks etdirir. “Biz Kainatın mövcud halına əvvəlki 
halın nəticəsi və sonrakı halın səbəbi kimi baxmalıyıq”.