Mühazirə kursu Азярбайжан Республикасы Тящсил Назирлийинин

və bərabərsürətli hərəkət edəcək ya da sükunətdə qalacaq. 
Kütlə  mərkəzi  hansı  hesablama  sisteminə  nisbətən 
sükunətdədirsə  o  kütlə  mərkəzi  sistemi  adlanır.  Bu  sistem 
inersial sistemdir. 
3.  Reaktiv  hərəkət.  Bir  sıra  hallarda  maddi  nöqtənin 
hərəkətinin 
trayektoriya 
və 
zaman  xarakteristikalarını 
Nyutonun  ikinci  qanunu  olmadan  da  müəyyən  etmək  olar. 
Buna,  cismin  ümumi  kütləsinin  müəyyən  hissəsinin    hər  hansı 
istiqamətdə atılması hesabına həyata keçirilən reaktiv hərəkəti 
misal  göstərə  bilərik.  Məsələn,  kosmik  gəmilər,  raketlər  və 
reaktiv mərmilər belə hərəkət edirlər. 
Yerin  və  digər  planetlərin  təsirinin  nəzərə  alınmadığı  uzaq 
kosmosda  raketin  ən  sadə  hərəkətinə  baxaq.  Hərəkət  haqqında 
hər  bir  məsələnin  həlli  hesablama  sisteminin  seçilməsindən 
başlayır.  Günəşlə  və  ya  hər  hansı  ulduzla  bağlı  inersial 
hesablama sistemi seçək. Şəkil 4.1.a-da müəyyən t anında tam 
kütləsi  m(t),  dekart  koordinat  sistemində  x  oxunun  müsbət 
istiqaməti  boyunca  yönəlmiş  sürəti  v(t)  olan  raketin  sxematik 
təsviri  göstərilmişdir.  Fərz  edilir  ki,  yanacaq  (yanan  qaz 
şəklində)  raketin  arxa  hissəsindən  elə  atılır  ki,  raket  və  atılan 
yanacaq  x  oxu  ilə  üst-üstə  düşən  bir  düz  xətt  boyunca  hərəkət 
edirlər.  Yanacağın  raketin  korpusundan  atılma  sürəti  v
nis
 

50 
 
raketin  konstruksiya  xüsusiyyətləri  ilə  təyin  edildiyindən  və 
yanacağın  tipindən,  soplonın  formasından,  yanacağın  soploda 
yanma  temperaturundan  asılı  olduğu  üçün  onu  məlum  hesab 
edəcək və fərz edəcəyik ki, uçuş zamanı bu sürət v
nis
 sabit qalır. 
Məqsədimiz  raketin  hərəkət  qanunu,  onun  sürətinin  və  tam 
kütləsinin  dəyişmə  qanununu  tapmaqdır.  Fərz  edək  ki,  qurğu 
elə konstruksiya edilib ki,  uçuş zamanı  dayanıqlı hərəkət edir 
və  ona  maddi  nöqtə  kimi  baxmaq  olar.    Belə  olduqda  bu 
hərəkətə impulsun saxlanma qanununu tətbiq edə bilərik. Digər 
cisimlərin  təsirini  nəzərə  almasaq  atılan  yanacaq  və  raket 
qapalı  sistem  təşkil  edirlər.  Bu  cür  sistemin  tam  impulsu 
zamana  görə  dəyişmir.  Fərz  edək  ki, 

t  müddətində  kütlə  və 
sürət 

m  (

m  kəmiyyəti mənfidir) və 

v  artımı almışlar (bax 
şəkil 4.1.b.). 
 
Şəkil 4.1 
 
İmpulsun  saxlanma  qanununa  görə  raketin  və  yanacağın  
yekun impulsu t və t+

t zaman anlarında eynidir, yəni 
                  mv=(m+

m)(v+

v) + 

m
qaz
v
qaz
                    (4.15)   
 
Əgər 

t zaman fasiləsi və onunla birlikdə 

m  və 

v artımları 
sıfıra  yaxınlaşsa, 

m

v  hasilinin  digər  hədlərlə  müqayisədə 
kiçik  olduğu,  həmçinin  kütlə  saxlanıldığı  üçün  (

m  + 

m
qaz
 
=0) (4.15)  ifadəsi aşağıdakı şəkili alar: 

 
 
 
                                
m
dm
d
nis




                             (4.16) 
Bu  ifadə  sonsuz  kiçik  kəmiyyətlər  arasındakı  əlaqəni  göstərir. 
Raketin  ölçülə  bilən  sonlu  sürəti  və  kütləsi  arasındakı  əlaqəni 
almaq  üçün  bərabərliyin  sağ  və  sol  tərəfini  inteqrallamaq 
lazımdır. 




m
dm
d
nis


 
Inteqrallama qaydasından istifadə etsək alarıq 
C
m
nis



ln


 
C inteqral  sabiti başlanğıc şərtlərlə  təyin edilir.  Fərz  edək ki, 
başlanğıc  anda  raketin  sürəti  sıfır,  kütləsi  isə  m
0
  bərabərdir. 
Onda  
C
m
nis



0
ln
0

  
Burada 
0
ln m
C
nis


. Beləliklə, 
     
)
/
ln(
0
m
m
nis



 və ya 
)
/
exp(
/
0
nis
m
m



    (4.17) 
Bu ifadə Siolkovski düsturu adlanır. Siolkovski ifadəsi raketə 
müəyyən  v  sürəti  vermək  üçün  lazım  olan  yanacaq  ehtiyatını 
hesablamağa  imkan  verir.  Müasir  raket  qurğularında  v
nis
=2 
km/san olduğunu nəzərə alsaq raketin v=8 km/san sürət alması 
üçün  m
0
/m=54,6  olmalıdır.  Bu  da  o  deməkdir  ki,  raketin 
kütləsinin təxminən 98% -i yanacağa sərf olunur. 
4.  Qüvvə  momenti  və  impuls  momenti.  Fərz  edək  ki, 
O  nöqtəsi  inersial  hesablama  sistemində  hər  hansı  hərəkətsiz 
nöqtədir.  Bu  nöqtədən 
F

 qüvvəsinin  A  tətbiq  nöqtəsinə 
çəkilmiş    radius-vektoru 
r

 ilə  işarə  edək  (şəkil  4.2). 
r

 radius 
vektorunun 
F

qüvvəsinə  vektori  hasili 
F

qüvvəsinin  O 
nöqtəsinə nəzərən momenti adlanır: 
                       
F
r
M





,  

sin
rF
M

                  (4.18) 

52 
 

-
r

  və   
F

 vektorları arasındakı bucaqdır; 
M

 -in istiqaməti 
elə  seçilir  ki, 
r

, 
F

, 
M

vektorlarının  ardıcıllğı  sağ  vint 
sistemini əmələ gətirsinlər, yəni 
M

 vektoru boyunca baxdıqda 
(4.18) ifadəsində birinci vuruqdan  ikinci vuruğa   ən qısa  yolla 
dönmə  saat  əqrəbi  boyunca  həyata  keçirilir.  Beləliklə,  dəstəyi  
r

-dən   
F

-ə  doğru  ən  qısa  yolla  fırlanan  sağ  burğunun 
irəliləmə hərəkəti 
M

-in  istiqaməti ilə üst-üstə düşür.  
 
Şəkil 4.2 
 
Bir  neçə  qüvvənin  sükunətdə  olan  nöqtəyə  nəzərən 
M

 
momenti  bu qüvvələrin həmin nöqtəyə nəzərən momentlərinin 
vektori cəmidir 
                          




n
i
i
i
F
r
M
1



                                 (4.19) 
Iki  qiymətcə  bərabər,  əks  istiqamətlərə  yönəlmiş,    paralel 
1
F

 və 
2
F

 qüvvələr  halına  baxaq.  Bu  cür  qüvvələr  cüt  
qüvvələr əmələ gətirirlər. Bu halda  




2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
F
r
r
F
r
r
F
r
F
r
M





















 
yəni,  cüt  qüvvənin  momenti,  bu  qüvvələrdən  birinin  digərinin 
tətbiq  nöqtəsinə  nəzərən  momentinə  bərabərdir.  Aydındır  ki, 
cüt qüvvənin momenti  O nöqtəsinin seçilməsindən asılı deyil. 
Xüsusi halda, əgər qiymətcə bərabər, istiqamətcə əks yönəlmiş 
1
F

 və 
2
F

 qüvvələri    eyni  bir  düz  xətt  boyunca  yönəlmişlərsə, 

 
 
 
onda  onlar 
1
2
r
r



 vektoru  ilə  kollineardırlar  və  buna  görə  də 
bu cür cüt qüvvələrin momenti sıfra bərabərdir. 
r

 radius  vektorun 
p

 impulsuna  vektori  hasili  maddi 
nöqtənin O nöqtəsinə nəzərən impuls momenti adlanır: 
                        
p
r
L





                                (4.20) 
n  maddi nöqtədən ibarət sistemin  ixtiyarı O nöqtəsinə nəzərən 
impuls  momenti,  bu  maddi  nöqtələrin  həmin  ixtiyarı  nöqtəyə 
nəzərən impuls momentlərinin vektori cəminə bərabərdir: 




n
i
i
i
p
r
L
1



                          (4.21) 
5.  Momentlər  tənliyi.  Fərz  edək  ki,  O  nöqtəsi 
hərəkətsizdir. 
Bir 
maddi 
nöqtə 
halında 
(4.20)-ni 
differesiallayaraq alarıq 




dt
p
d
r
p
dt
r
d
dt
L
d
/
/
/









. 
O nöqtəsi hərəkətsiz olduqda 
V

 vektoru 
dt
r
d /

-ə bərabər olub 
p

-yə  paraleldir  və  buna  görə  də 


0
/


p
dt
r
d


.    Bundan 
əlavə 
F
dt
p
d



/
. Beləliklə, 
                       
M
dt
L
d



/
                                   (4.22) 
Bu  bir  maddi  nöqtə  üçün    momentlər  tənliyidir.  Onu  maddi 
nöqtələr  sisteminə  də  aid  etmək  olar.  Bunun  üçün  (4.22) 
tənliyini  mexaniki  sistemin  hər  bir  nöqtəsi  üçün  yazaq.  M-
dedikdə  ona  təsir  edən  bütün,  həm  daxili,  həm  də  xarici 
qüvvələrin    momentləri  başa  düşülür.    Sonra  bu  tənlikləri 
toplayaq.  Daxili  qüvvələr  sistemə  cüt  cüt  daxil  olur,  həmçinin 
ki
ik
F
F




 (burada 
ik
F

- k-cı maddi nöqtənin i-ci nöqtəyə təsir 
qüvvəsidir). Bundan əlavə bu 
ik
F

 və 
ki
F

 qüvvələri bir düz xətt 
boyunca  təsir  edirlər.  Bu  cür  iki  qüvvənin  momenti,  deməli 
bütün  daxili  qüvvələrin  momentləri  sıfra  bərabərdir.  Nəticədə 
maddi nöqtələr sistemi üçün yenə (4.22) formasında momentlər 

54 
 
tənliyi  alınacaq.  Lakin  burada 
L

 (4.21)  ifadəsi  ilə, 
M

 isə 
(4.19) ifadəsi ilə təyin ediləcək 
xarici
M
dt
L
d



/
                       (4.23) 
Mexaniki  sistemin  oxa  nəzərən  qüvvə  momenti,  baxılan  ox 
üzərində seçilmiş (şəkil 4.3) ixtiyarı nöqtəyə nisbətən sistemin 
qüvvə  momenti  vektorunun  bu  oxa  nəzərən  proyeksiyasına 
deyilir. Uyğun olaraq oxa nəzərən impuls momenti, verilmiş ox 
üzərindəki 
ixtiyarı  nöqtəyə  nəzərən  impuls  momenti 
vektorunun bu oxa proyeksiyasına  deyilir. Isbat etmək olar ki, 
ox  üzərində  nöqtənin  seçilməsi
L

 və   
M

momentlərinin 
qiymətinə  təsir  etsə  də,  momentlərin  bu  oxa  proyeksiyalarının 
uyğun  qiymətinə  təsir  etmir.  Əgər    düzbucaqlı  koordinat 
sistemindən istifadə etsək: 
                  
;
/
xarici
x
x
M
dt
dL

;
/
xarici
y
y
M
dt
dL

 
                               
;
/
xarici
z
z
M
dt
dL

                     (4.24) 
 
 
Şəkil 4.3 
 
6. Impuls momentinin saxlanması qanunu.   Əgər sistem 
qapalıdırsa,  yəni  xarici  qüvvələr  yoxsa  onda 
0

xarici
M

 və 
beləliklə,  (4.23)-ə  əsasən   
L

vektoru  zamana  görə  dəyişmir, 
yəni 
const
L


.  Buradan  impuls  momentinin  saxlanılması 

 
 
 
qanunu  alınır:  Qapalı  sistemin  maddi  nöqtələrinin  impuls 
momenti sabit qalır.   
Əgər  xarici  qüvvələrin  momentlərinin  cəmi  sıfra 
bərabərdirsə onda qapalı olmayan sistemin impuls momenti də 
saxlanılır.  Impuls  momentinin  saxlanılması  qanununun 
əsasında fəzanın izotropluğu (yəni bütün istiqamətlərdə fəzanın  
xassələrinin  eyniliyi)  durur.  Sistemin  hissəciklərinin  qarşılıqlı 
vəziyyətini  və  nisbi  sürətini  dəyişmədən  qapalı  sistemin 
döndərilməsi 
sistemin 
mexaniki 
xassələrini 
dəyişmir. 
Dönmədən  sonra  hissəciklərin  hərəkəti    dönmə  baş  vermədiyi 
halda olduğu kimi qalacaqdır. 
Impulsun  və  enerjinin  saxlanılması  qanunu  ilə  yanaşı, 
impuls  momentinin  saxlanılması  qanunu  da  fizikanın 
fundamental  qanunlarından  biridir.  İmpuls  momentinin 
saxlanılması qanununa mexanikanın teoremi kimi deyi, təcürbi 
faktların ümumiləşməsi olan müstəqil ümumfiziki prinsip kimi 
baxılmalıdır. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

56 
 
MÜHAZIRƏ 5 
Mərkəzi sahədə hərəkət. 
Konservativ və qeyri  konservativ 
qüvvələr. 
 
1.  Mərkəzi  sahədə  hərəkət.
 
İmpuls  momentinin 
saxlanması  qanunu  qapalı  sistem  üçün  ödənsə  də  onun 
tərkibinə  daxil  olan  ayrı-ayrı  zərrəciklər  üçün  ödənmir.  Lakin 
qüvvə  sahəsində  hərəkət  edən  bir  hissəcik  üçün  bu  qanunun 
ödəndiyi  hal  mümkündür.  Bunun  üçün  sahə  mərkəzi  sahə 
olmalıdır.  Elə  qüvvə  sahəsini  mərkəzi  sahə  adlandırırlar  ki, 
hissəciyin potensial  enerjisi  yalnız  sahənin mərkəzindən olan 
r  məsafəsinin  funksiyasıdır:  U=U(r).  Belə  sahədə  hissəciyə 
təsir  edən  qüvvə  də    yalnız  r  məsafəsindən  asılıdır  və  fəzanın 
hər  bir  nöqtəsində  sahənin  mərkəzindən  bu  nöqtəyə  çəkilmiş  
radius  boyunca    yönəlmişdir.  Məsələni  daha  dərindən 
araşdırmaq  üçün  iki  cisim  məsələsinə  baxaq.  Bir-birilə 
qarşılıqlı  təsirdə  olan  iki  cismin  hərəkəti  iki  cisim  məsələsi 
adlanır.  Qoşa  ulduzların,  Yer-Ay,  elektron-pozitron  və  s. 
sistemlərin hərəkətinin öyrənilməsi iki cisim məsələsidir. Tutaq 
ki,  kütlələri  bir-birinə  yaxın  olan  iki  cisim  vardır.  Seçilmiş  K 
inersial  sisteminə  nəzərən  onların  fəzada  vəziyyətini 
1
r

 və 
2
r

 
radius vektorları ilə göstərək. Şəkil 5.1-dən görünür ki, cisimlər 
arasındakı  məsafə 
1
2
21
r
r
r





 vektoru  ilə  təyin  olunur.  Onda 
birinci  cismə  ikinci  cisim  tərəfindən 
21
3
21
2
1
r
r
m
m
G

,  ikinci  cismə 
birinci  cisim  tərəfindən 
21
3
21
2
1
r
r
m
m
G


 cazibə  qüvvəsi  təsir 
edəcəkdir.  

 
 
 
 
Şəkil 5.1 
 
Nyutonun  ikinci  qanununa  görə  onların  hərəkət  tənliklərini 
aşağıdakı kimi yazmaq olar: 
                    
21
3
21
2
1
2
1
2
1
r
r
m
m
G
dt
r
d
m



,                                   (5.1) 
                       
21
3
21
2
1
2
2
2
2
r
r
m
m
G
dt
r
d
m




.                              (5.2) 
Məsələni daha asan yolla həll etmək üçün yuxarıda yazılmış 
hərəkət  tənliklərindən  birincini  m
1
-ə,  ikincini  m
2
-yə  bölüb, 
ikincidən birincini çıxaq: 
21
3
21
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
)
(
r
r
m
m
G
m
m
dt
r
r
d













. 
Burada 
21
1
2
r
r
r





 olduğunu 
nəzərə  alaq, 
2
1
1
1
1
m
m



 
əvəzləməsini edək və tənliyi aşağıdakı şəkildə yazaq: 
                
21
3
21
2
1
2
21
2
r
r
m
m
G
dt
r
d





.                                (5.3) 
Alınan tənliyə yalnız bir məchul daxildir, yəni axırıncı ifadə 
bir  cismin  hərəkət  tənliyidir.  Beləliklə  iki  cisim  məsələsi  bir 
cisim  məsələsinə  gətirilmiş  olur.  Burada 

 kəmiyyəti 
gətirilmiş  kütlə  adlanır.  Onun  ədədi  qiyməti  qarşılıqlı  təsirdə 
olan  cisimlərin  ən  kiçiyinin  kütləsindən  kiçik  olur.  Bu  isə  o 
y 
x 

58 
 
deməkdir ki, iki cisim məsələsində sistemin ətalətliliyi ayrı-ayrı 
cisimlərə nisbətən daha az olur.  
2.  Kepler  qanunları.  Kepler  planetlərin  hərəkətini 
öyrənərək aşağıdakı qanunları vermişdir: 
1.  Bütün  planetlər  fokuslarından  birində  Günəş  yerləşən 
ellipslər üzrə hərəkət edirlər. Şəkil 5.2-də ixtiyari K planetinin 
ellips  boyunca  hərəkəti,  S
1
  və  S
2
  ellipsin  fokusları,  S
1
 
fokusunda  G  Günəş,  a  və  b  ellipsin  yarımoxları,  P  və  A 
planetin  Günəşə  ən  yaxın  (Periheliy)  və  ən  uzaq  (Aseliy) 
nöqtələri, r ilə planetin Günəşdən olan  məsafəsi və 

 ilə onun 
polyar bucağı göstərilmişdir.  
 
 
Şəkil 5.2 
 
Mərkəzi  Günəşdə  yerləşən  sistemə  nəzərən  planetin 
trayektoriyası  
                      


cos
1


P
r
                                     (5.4) 
tənliyi ilə ifadə olunur. Burada  
                             
M
Gm
L
P
2
2

                                      (5.5) 
– ortbitin parametri,  
                           
2
2
)
(
2
1
GmM
m
EL



                              (5.6) 
isə onun eksentrisiteti adlanır.  
Şəkildən  və  trayektoriya  tənliyindən  görünür  ki,  planetin 
Günəşdən minimum (
0


) və maksimum (



) məsafələr 

 
 
 
              



1
min
P
r
 və 



1
max
P
r
,                          (5.7) 
yarımoxlar isə  
E
GmM
a
2

 və 
E
m
b
2
1

 
düsturları ilə hesablanır. Burada m və M- uyğun olaraq planetin 
və Günəşin kütləsi, E və L– isə planetin tam enerjisi və impuls 
momenti, G – isə qravitasiya sabitidir. 
2.  Planetin  radius-vektoru  bərabər  zamanlarda  eyni 
sahələr  cızır.  Şəkil  5.3-də  r  radius  vektorunun  dt  müddətində 
cızdığı  sahə  göstərilmişdir.  Bu  sahəni  təqribi  olaraq  üçbucaq 
kimi  qəbul  etmək  olar.  Onun  hündürlüyü  r,  oturacağı  isə 
planetin 

 sürətilə dt müddətində getdiyi yoldur. 
 
 
Şəkil 5.3 
 
Onda  üçbucağın  sahəsi   
r
dt
dS



2
1
   olar.  Bu  ifadəni 
planetin  kütləsinə  vurub  və  bölək, 
r
m


 hasilini  impuls 
momenti L ilə işarə edək. Onda 
                
dt
m
L
dS
2

 və ya 
m
L
dt
dS
2

                        (5.8) 
alınar.  Planetin  kütləsi  və  impuls  momenti  sabit  olduğundan 
dt
dS
 də  sabit  olmalıdır.  Beləliklə,  isbat  olunur  ki,  radius-
vektorun bərabər zamanlarda cızdığı sahələr eyni olur. 
3.  Planetlərin  Günəş  ətrafında  fırlanma  periodlarının 
kvadratları  nisbəti  onların  böyük  yarımoxlarının  kubları 

60 
 
nisbətinə  bərabərdir.  Planet  bir  dövr  etdikdə  onun  radius-
vektoru 
tam 
ellips 
sahəsi 
cızır.  Elementar  sahəni 
inteqrallayaraq ellipsin sahəsini tapaq 



t
T
m
L
dt
m
L
S
0
2
2
 
Bu  sahə  yarımoxlarla  ifadə  olunmuş 
ab
S


 sahəsinə 
bərabər olmalıdır, yəni 
ab
T
m
L


2
. 
Yarımoxların  Keplerin  I  qanununda  verilmiş  ifadələrini 
yerinə yazıb, alınan ifadəni sadələşdirsək 
                 
GM
a
T
2
3
2
4


                                  (5.9) 
alarıq.  Göründüyü  kimi  sağ  tərəf  sabit  kəmiyyətlərdir,  deməli 
sol tərəf də bütün planetlər üçün sabit olmalıdır. 
İlk  yaxınlaşmada    planetin  trayektoriyasını  çevrə  qəbul 
etmək olar. Onda ellipsin yarımoxu çevrənin radiusu olacaqdır. 
Yəni  bu  halda  planet  mərkəzində  Günəş  yerləşən  çevrə  üzrə 
hərəkət edəcəkdir. Çevrə üzrə hərəkət edən planet üçün axırıncı 
düsturu 
3
2
2
4
r
GM
T


 
şəklində yazaq və hər tərəfi mr hasilinə vuraq, onda 
                         
2
2
2
4
r
mM
G
r
T
m


                              (5.10) 
Bu  ifadənin  sol  tərəfi  mərkəzəqaçma  qüvvəsi,  sağ  tərəfi  isə 
planetlə  Günəş  arasındakı  qarşılıqlı  təsir  qüvvəsi  olub  cazibə