Mundarija: I. Kirish II. Asosiy qism 1

1. Golomorf funksiya haqida tushuncha.

Faraz qilaylik, funksiya biror sohada berilgan bo‘lsin.

1-Ta’rif. Agar funksiya nuqtaning biror atrofida S-differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiya nuqtada golomorf funksiya deyiladi.
2-Ta’rif. Agar funksiya sohaning har bir nuqtasida golomorf bo‘lsa, funksiya sohada golomorf deyiladi. Odatda sohada golomorf funksiyalar sinfi kabi belgilanadi.
3-Ta’rif. Agar funksiya nuqtada golomorf bo‘lsa, funksiya nuqtada golomorf deyiladi.
4-Ta’rif. Agar funksiya nuqtada golomorf bo‘lsa, funksiya nuqtada antigolomorf deyiladi.

Golomorf funksiyalarning xossalari

1⁰. Koshi teoremasi. Agar funksiya bir bog’lamli sohada golomorf bo’lsa, u holda funksiyaning sohada yqtuvchi har qanday silliq (bo’lakli silliq) yopiq chiziq (yopiq kontur) bo’yicha integral nolga teng bo’ladi:

2⁰ . Koshining integral formulasi.
Agar va da uzluksiz bo’lsa, u holda uchun

tenglik o’rinli bo’ladi.
3⁰. Golomorf funksiyaning istalgan tartibli hosilaga ega bo’lishi.
Agar bo’lsa, u holda sohada istalgan tartibdagi hosilaga ega bo’lib ,
(1)
bo’ladi.
Bu yerda sohada yotuvchi (bo’lakli silliq) yopiq chiziq bo’lib, esa chiziq bilan chegaralangan sohaga tegishli nuqta.
Isbot. Koshining integral formulasiga ko’ra

bo’ladi.
nuqtaga orttirma berib, funksiya orttirmasini topamiz: .
Unda

bo’ladi. Keyingi tenglikni quyidagicha yozib olamiz:

Endi

integralni baholaymiz. Ravshanki,

bunda .
Agar z nuqtadan chiziqgacha bo’lgan masofani desak, unda

bo’lib, (agarda etarlicha kichik bo’lsa)
(3)
bo’ladi. Bu erda chiziq uzunligi.

1. 
   ni e’tiborga olib, da (2) da limitga o’tib
   

bo’lishini topamiz.
Endi funksiyani olib uning uchun yuqoridagi mulohazalarni takrorlasak
(4)
tenglik hosil bo’ladi.
Xuddi shu yo’l bilan uchinchi, to’rtinchi va hakozo tartibdagi hosilalarni mavjudligi ko’rsatiladi. funksiyaning n–tartibli hosilasi uchun (1) ni o’rinli bo’lishi matematik induksiya usuli yordamida isbotlanadi.