Mundarija: I. Kirish II. Asosiy qism 1

5^o. Liuvil teoremasi.
Agar bo’lib, u chegaralangan bo’lsa, funksiya da o’zgarmas bo’ladi.
Isbot. Golomorf funksiyaning xossasiga ko’ra, funksiya doirada ning darajalari bo’yicha Teylor qatoriga yoyiladi:
bunda .
Koshi tengsizligi (10) ga binoan bo’ladi. bo’lgani uchun bu tengsizlikda ni istalgancha katta qilib olish mumkin. Shuning uchun bo’lganda

bo’ladi. Ayni paytda (10) tengsizlikning chap tomoni ga boglik emas. Binobarin bo’lganda
( )
bo’ladi. Demak, da .
6^o. Morera teoremasi. Faraz qilaylik, funksiya bir bog’lamli sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lib, esa shu sohada yotuvchi ixtiyoriy silliq (bo’lakli silliq) yopiq chiziq bo’lsin. Agar bo’lsa, u holda funksiya sohada golomorf bo’ladi.
Isbot. Teoremada keltirilgan shart bajarilganda funksiya sohada boshlang’ich funksiyaga ega bo’lib, funksiya da differensiallanuvchi, ya’ni golomorf bo’ladi.
3⁰-xossaning 1-natijasiga ko’ra ham sohada golomorf bo’ladi. Ayni paytda

bo’lganligi sababli bo’ladi.

2. Garmonik funksiya tushunchsi.
Faraz qilaylik,
funksiya G sohada analitik bo‘lsin. U holda hosila olish formulasiga asosan:
(1)
Teorema. Koshi tipidagi integral bilan aniqlangan funksiya chiziqda yotmaydigan, har qanday chekli z nuqtada analitik bo‘ladi. Shunday nuqtalarda funksiya barcha yuqori tartibli hosilalarga ega bo‘lib, ular


formula orqali ifoda qilinadi.
Yuqoridagi teoremadan ma’lumki G sohada analitik bo‘lgan f(z) funksiya barcha yuqori tartibli uzluksiz hosilalarga ega. (1) dan yana bir marta hosila olinsa,
(2)
kelib chiqadi. Ilgari aytilgan sababga muvofiq hamma tartibli
, ,
xususiy hosilalar ham mavjud va uzluksizdir. (2) ning ikki tomonidagi kompleks miqdorlar o‘zaro teng bo‘lgani uchun ularning haqiqiy qismlari o‘zaro va mavhum qismlari o‘zaro teng bo‘ladi:
.
O‘ng tomondagi hadlarni chapga o‘tkazib quyidagicha yozish mumkin.
(3)
Bularning ikkalasi ham bir tipdagi differensial tenglamalardan iborat bo‘lgani uchun bittasini, masalan, (3) ni olsak kifoya. Demak, va funksiyalarining ikkalasi ham (3) tenglamani qanoatlantiradi. Yuqoridagi (3) xususiy hosilali ikkinchi tartibli differensial tenglama bo‘lib, Laplas tenglamasi, ni esa Laplasning differensial operatori deb ataladi. Bayon etilgan mana shu fikrlarimizdan garmonik funksiya tushunchasi kelib chiqadi.
Ta’rif. Agar haqiqiy funksiya sohada birinchi va ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lib, (3) Lapas tenglamasini qanoatantirsa, funksiya sohada garmonik funksiya deyiladi.
Mana shu ta’rifdan va yuqoridagi mulohazalarimizdan ko‘rinadiki, biz quyidagi teoremani isbot qildik.