Mustaqil ish 1 Funkiya tushunchasi

Isbot. = tenglik ma’noga ega bo’lishi uchun g(b)g(a) bo’lishi kerak. Bu esa teoremadagi g’(x)0 (x) shartdan kelib chiqadi. Haqiqatan ham agar g(a)=g(b) bo’lib qoladigan bo’lsa, u holda g(x) funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantirib, biror c nuqtada (bunday nuqta Roll teoremasiga ko’ra topiladi) g’(c)=0 bo’lib qoladi. Bu esa (a,b) da g’(x)0 shartga ziddir. Demak g(b)g(a).

Endi f(x) va g(x) funksiyalar yordamida quyidagi

F(x)=f(x) - f(a) - [g(x)-g(a)]
funksiyasini tuzaylik. Bu funksiya [a,b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, (a,b) intervalda

F’(x) = f’(x) - g’(x)
hosilaga ega. So’ngra F(x) funksiyaning x=a, x=b nuqtalaridagi qiymatlarini hisoblaymiz: F(a)=F(b)=0. Demak, F(x) funksiya [a,b] segmentda Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun a va b lar orasida shunday c(a nuqta topiladiki, F’(c)=0 bo’ladi. Shunday qilib,

0=F’(c)=f’(c) - g’(c)

va undan tenglik o’rinli ekani kelib chiqadi.

Teorema isbot bo’ldi.

Xususan, g(x)=x bo’lganda Koshiy teoremasidan Lagranj teoremasi kelib chiqadi.

1-misol. Ushbu f(x)= funksiya (-1,1) intervalning ichki x=0 nuqtasida o’zining eng kichik qiymatiga erishsa ham, bu funksiya uchun Ferma teoremasining xulosasi o’rinli emas. Shuni ko’rsating.

Berilgan funksiya x=0 nuqtada o’zining eng kichik qiymatiga erishadi. Biroq funksiya uchun shu x=0 nuqtada chekli hosilaga

emas. Bu ushbu

===
nisbatning da chekli limitga ega emasligidan kelib chiqadi. Demak, Ferma teoremasining sharti bajarilmaydi. Binobarin, teoremaning xulosasi o’rinli emas.

2-misol. Ushbu funksiya uchun [0,2] segmentda Roll teoremasining shartlari bajariladimi?

Ravshanki, funksiya [0,2] segmentda uzluksiz hamda = hosilaga ega. Bu funksiyaning [0,2] segmentning chetki nuqtalaridagi qiymatlari f(0)=0, f(2)=0 bo’lib, ular bir biriga teng. Demak, berilgan funksiya [0,2] segmentda Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. [0,2] segmentning

, nuqtalarda funksiyaning hosilalari nolga aylanadi: