Mustaqil ish mavzu: metrik fazoda ketma-ketliklar va uning limiti. Fan

KETMA-KETLIK LIMITINING MAVJUDLIGI
2⁰. Ketma-ketlik limitining mavjudligi. Faraz qilaylik, fazoda ketma-ketlik va nuqta берилган bo`lsin.
1-teorema. Agar fazoda

ketma-ketlik

limitga ega bo’lsa;
,
u holda

bo’ladi.

◄ Aytaylik

bo’lsin.

Limit ta’rifiga binoan uchun

bo’ladi. Ravshanki,

bunda

Keyingi munosabatlardan , uchun

ya’ni

bo’lishini topamiz. Bundan esa

bo’lishi kelib chiqadi.►
2-teorema. Agar fazodagi

ketma-ketlik va nuqta uchun

bo’lsa, u holda ketma-ketlik limitiga ega bo’lib,

bo’ladi.
◄ Teoremaning sharti hamda limit ta’rifidan foydalanib topamiz: bo’ladi.
bo’ladi.
........................................................................................
bo’ladi.
Agar

deyilsa, unda da bir yo’la

tengsizliklar bajariladi. U holda

yani,

bo’ladi. Demak
.►
Bu teoremalardan quyidagi tasdiq kelib chiqadi.
fazoda
ketma-ketlik limitga,

ega bo’lishi uchun bir yo’la

bo’lishi zarur va yetarli.

Bu muhim tasdiq bo’lib, u fazodagi ketma-ketliklar limitlarini o’rganishni sonlar ketma-ketliklar limitlarini o’rganishga olib keladi. Agar (1) ketma-ketlik limitga ega bo’lsa, u yaqinlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.
Yuqoridagi keltirilgan tasdiqdan foydalanib isbotlanadigan muhim teoremani keltiramiz. Avvalo fazoda ketma-ketlikning fundamentalligini ta’riflaymiz.
3-ta’rif. fazoda ketma-ketlik berilgan bo’lsin . Agar olinganda ham, shunday topilsaki, , lar uchun

tengsizlik bajarilsa, fundamental ketma-ketlik deyiladi.

3-teorema (Koshi teoremasi). ketma-ketlikning yaqinlashuvchi bo’lishi uchun uning fundamental bo’lishi zarur va yetarli.
Bu teorema 9-ma’ruzada keltirilgan 3-teorema kabi isbotlanadi.