Navoiy kon-metallergiya kombinati navoiy davlat konchilik va texnologiyalar universiteti

NAVOIY KON-METALLERGIYA KOMBINATI
NAVOIY DAVLAT KONCHILIK VA TEXNOLOGIYALAR UNIVERSITETI
KONCHILIK FAKULTETI

“Oliy matematika”
fanidan

MUSTAQIL ISH


Guruh: _________________________
Bajardi:_________________________
Qabul qildi:______________________

Navoiy-2022


MAVZU: Kronekker-Kapelli teoremasi. Chiziqli algebraic tenglamalar sistemasining tadbiqlari.


Reja:
1. Kroneker-Kapelli teoremasi.
2. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi.
3. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish.


Kroneker-Kapelli teoremasi.
Ushbu
(1)
umumiy ko‘rinishdagi, yani ta nomalumli ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin.
Berilgan sistema nomaʼlumlari koeffitsiyentlaridan A matritsani hamda bu matritsaga ozod hadlardan tuzilgan ustunni birlashtirib, ikkinchi V matritsani tuzamiz, yaʼni bular ushbu ko‘rinishshda bo‘ladi.
va
matritsaga (1) sistemaning matritsasi, matritsaga sistemaning kengaytirilgan matritsasi deyiladi. Quyidagi teorema o‘rinli.
1- teorema. (Kroneker-Kapelli teoremasi). Chiziqli tenglamalar sistemasining birgalikda bo‘lishi uchun sistema matritsasi ning rangi sistema kengaytirilgan matritsasining rangiga teng bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Zarurligi. (1) sistema birgalikda bo‘lsin. uning yechimlaridan biri bo‘lsin. Bu sonlarni sistemadagi nomaʼlumlar o‘rniga qo‘yib, ta ayniyat hosil qilamiz. Bu ayniyatlar matritsaning oxirgi ustuni qolgan barcha ustunlarining mos ravishda koeffitsiyetlar bilan ko‘paytmasidan olingan yig‘indisi ekanligini ko‘rsatadi. matritsaning har qanday boshqa ustuni matritsaga ham kiradi va shuning uchun u matritsaning barcha ustunlari orqali chiziqli ifodalanadi. Aksincha, matritsaning har qanday ustuni matritsani ham ustuni bo‘ladi, yaʼni bu matritsaning ustunlari orqali chiziqli ifodalanadi. Bundan va matritsalarning ustunlari sistemasi o‘zaro ekvivalent ekanligi kelib chiqadi, shuning uchun bu matritsalarning rangi bir xil bo‘ladi, yaʼni kelib chiqadi.
Yetarliligi. va matritsalar bir xil rangga ega bo‘lsin. Bundan matritsa ustunlarining istalgan maksimal chiziqli erkli sistemasi matritsada ham maksimal chiziqli erkli sistema bo‘lib qolishligi kelib chiqadi. Shunda qilib matritsa ustunlari sistemasi orqali matritsaning oxirgi ustuni chiziqli ifodalanadi. Demak, shunday sonlar majmui mavjud bo‘ladiki, matritsaning bu sonlar bilan ko‘paytirishdan olingan ustunlari yig‘indisi ozod hadlardan iborat ustunga teng, yaʼni sonlar (1) sistemaning yechimi bo‘ladi, shunday qilib, va matritsalar ranglarining bir xilda bo‘lishidan (1) sistemaning birgalikda bo‘lishi kelib chiqadi. Teorema to‘liq isbotlandi.
Kroneker-Kapelli teoremasi yechim mavjud ekanligini tasdiqlaydi, lekin bu sistemaning barcha yechimlarini amalda topish uchun usulni bermaydi. Endi, ixtiyoriy chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning quyidagi qoidasini keltiramiz.
matritsaning rangi matritsaning rangiga teng bo‘lib, bo‘lsin. Bunda son matritsaning chiziqli erkli satrlarining maksimal soniga teng bo‘lib, nomaʼlumlar soniga teng bo‘lsa, u holda sistema tenglamalari soni nomaʼlumlari soniga teng va uning determinanti noldan farqli bo‘ladi, bunday sistemaning yechimi yagona bo‘lib uni Kramer qoidasi bo‘yicha topish mumkin bo‘ladi.
Endi matritsalarning rangi nomaʼlumlar sonidan kichik, yaʼni bo‘lsin. Bu holda - tartibli minor noldan farqli bo‘ladi. Sistema tenglamalarining har qaysisida nomaʼlumli hadlarini tenglamalarning o‘ng tomoniga o‘tkazamiz va bu nomaʼlumlar uchun biror qiymatlari majmuini tanlab olib nomaʼlumli ta tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Hosil bo‘lgan sistemaga Kramer qoidasini qo‘llash mumkin va yagona yechim majmui mavjud bo‘ladi. Sistema tenglamalarining o‘ng tomoniga o‘tkazilgan nomaʼlumlarni ozod nomaʼlumlar deb ataymiz. Chap tomondagi nomalumlar bosh(bazis) o‘zgaruvchilar, Ozod nomaʼlumlar uchun sonlarni ixtiyoriy tanlab olishiiz mumkin bo‘lganligi uchun hosil bo‘lgan sistemaning cheksiz ko‘p turlicha yechimlari shu yo‘l bilan hosil qilinadi. Shunday qilib, bu holda cheksiz ko‘p yechimlar to‘plamiga ega bo‘lamiz.
nomaʼlumlarning ozod nomaʼlumlar qatnashgan yechimiga umumiy yechim deb ataladi, chunki boshqa cheksiz ko‘p yechimlar ozod nomaʼlumlarga ixtiyoriy qiymatlar majmuini berish bilan olinadi.
Tenglamalar sistemasini yechishga bir necha misollar qaraymiz.
1-misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching.

Yechish. Sistema koeffitsiyentlaridan matritsa tuzamiz.

Bu matritsaning rangi 2 га teng, chunki


bo‘lib,

bo‘ladi. Kengaytirilgan matritsa

ning rangi 3 га teng, chunki

bo‘lib, bo‘ladi, demak isbotlangan teoremaga asosan sistema birgalikda emas.
2-misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching.

Yechish. Sistema koeffitsiyentlaridan tuzilgan matritsa

bo‘lib, , chunki , lekin
3-tartibli minori yo‘q. Kengaytirilgan matritsaning rangi ham 2 га teng, chunki
.
Birinchi ikkita tenglamaning chap qismlari chiziqli erkli, bu ikkita tenglamalar sistemasini yechib, nomaʼlumlar uchun ushbu qiymatlarni hosil qilamiz:



Bu yechim 3-tenglamani ham qanoatlantiradi.
3-misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching.

Yechish. Sistema matritsasining rangi , chunki

bo‘lganligini, yaʼni kengaytirilgan matritsaning barcha 3-tartibli minorlari 0 га teng bo‘lganligi uchun, uning ham rangi . Shunday qilib, sistema birgalikda va nomaʼlumlar sonidan kichik, bu holda birinchi va uchinchi tenglamalar sistemasini olaylik, chunki

bundan

bo‘lib, tenglamalar sistemasini asosiy nomaʼlumlarga nisbatan yechsak:

bo‘ladi. Ozod nomaʼlumlarni deb

umumiy yechimni olamiz. va larga xar xil qiymatlar berib, masalan, bo‘lganda yaʼni yechimni, bo‘lganda yaʼni va hokazo cheksiz ko‘p yechimlarni olish mumkin.