Navoiy kon-metallergiya kombinati navoiy davlat konchilik va texnologiyalar universiteti

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi.
(1) tenglamalar sistemasida ozod hadlar 0 lardan iborat bo‘lsa, bunday sistemaga bir jinsli sistema deyiladi, yani

bo‘lib, birjinsli sistema doimo birgalikda.

Bir jinsli sistema 0 dan farqli yechimga egaligini aniqlash muhimdir.
2-teorema. Bir jinsli sistema noldan farqli yechimga ega bo‘lishi uchun sistema matritsasining rangi nomaʼlumlar sonidan kichik bo‘lishi zarur va yetarlidir.
1-natija. Bir jinsli sistemada nomaʼlumlar soni tenglamalar sonidan katta bo‘lsa, sistema 0 dan farqli yechimlarga ham ega bo‘lishi mumkin.
2-natija. nomaʼlumli ta bir jinsli tenglamalar sistemasi 0 dan farqli yechimlarga ega bo‘lishi uchun sistemaning determinanti 0 га teng bo‘lishi zarur va yetarlidir. Shunday kilib, matritsaning rangi 3 га teng, nomaʼlumlar soni to‘rtta, 2-teoremaga asosan sistema 0 dan farqli yechimga ega. Berilgan sistema

sistemaga teng kuchli. nomaʼlumlar koeffitsiyentidan tuzilgan determinant 0 dan farqli bo‘lgani uchun ni o‘ng tomonga o‘tkazib tenglamalar sistemasini yechamiz.

Kramer formulalariga asosan:

Bu yechimni berilgan sistemaga bevosita qo‘yib yechimning to‘g‘riligiga ishonish mumkin.


Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning eng ko‘p ishlatiladigan usullaridan biri Gauss usulidir. Uning mohiyatini uch nomaʼlumli uchta chiziqli tenglama uchun ko‘rsatamiz.
(1)
Bunda bo‘lsin. Birinchi tenglamaning hamma hadlarini ga bo‘lamiz va uni ga ko‘paytirib mos ravishda ikkinchi va uchinchi tenglamalarga qo‘shamiz. Bu holda quyidagi tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi:

bu yerda va h.k.
bo‘lib, boshqa tenglamalarda nomalumlar oldidagi koeffitsiyentlari orasida no‘ldan farqlilari bo‘lsa, u holda bu tenglamalardan birini birinchi tenglamaning o‘rni bilan almashtiramiz, keyin yuqoridagi amallarni bajaramiz. Bu birinchi qadam bo‘ladi. Demak, birinchi qadamda birinchi tenglamada - nomaʼlum qolib, qolgan tenglamalardan ketma-ket - nomaʼlumni yo‘qotamiz. Ikkinchi qadamda birinchi tenglama o‘z o‘rnida qolib, ikkinchi va uchinchi tenglama uchun yuqoridagi amallarni bajaramiz, yaʼni ikkinchi tenglamada nomaʼlumni qoldirib, uchinchi tenglamadan uni yo‘qotamiz. Shunday qilib, bu amallar natijasida (1) tenglamalar sistemasi
(2)
ko‘rinishga keladi. Endi hamma nomaʼlumlarni so‘nggi tenglamadan boshlab teskari qadam bilan topish qoldi. Gauss usulining xususiyati shundan iboratki, unda sistemaning birgalikda masalasini oldindan aniqlab olish talab etilmaydi va:
1) sistema birgalikda va aniq bo‘lsa, u holda usul yagona yechimga olib keladi;
2) sistema birgalikda va aniqmas bo‘lsa, bu holda biror qadamda ikkita aynan teng tenglama hosil bo‘ladi va shunday qilib, tenglamalar soni nomaʼlumlar sonidan bitta kam bo‘lib qoladi;
3) sistema birgalikda bo‘lmasa, u holda biror qadamda chiqarilayotgan (yo‘qotilayotgan) nomaʼlum bilan birgalikda qolgan barcha nomaʼlumlar ham yo‘qotiladi, o‘ng tomonda esa noldan farqli ozod had qoladi.