Непреривный и дискретный спектр главадвухчастичного оператора шредингера на одномерной решетке

Теорема 2.4. Пусть Тогда оператор имеет лишь конечное число отрицательных собственных значений.
Теорема 2.5. Число собственных значений неубывающая функция от полного квазиимпульса
Теорема 2.6. Пусть выполнено предположение 2.1. Тогда каждое собственное значение оператора возрастает по
Теорема 2.7. (см. [58]). Пусть - изолированное невырожденное собственное значение оператора . Тогда при малых оператор имеет единственное невырожденное собственное значение лежащее в некоторой окрестности ={E }точки и аналитична по в окрестности
Теорема 2.8. Существует такое, что для любого оператор имеет единственное невырожденное собственное значение лежащее в малой окрестности и для него имеет место асимптотическая формула

ГЛАВА 2. НЕПРЕРИВНЫЙ И ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР ГЛАВАДВУХЧАСТИЧНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА НА ОДНОМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ

Теорема 2.9. Для любого существует такое, что при всех оператор имеет ровно два невырожденных собственных значения и лежащие в малой окрестности Для них имеет место асимптотическая формула где
Предположение 2.2. Функция возрастает на т.е.

Теорема 2.10. Пусть выполняется предположение [5.2]. Тогда для любого имеет место неравенство при и справедливо Дополнительно, если то оба собственные значения и лежат ниже (выше) чем при

ГЛАВА 3. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА ДВУХЧАСТИЧНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА НА ДВУМЕРНОЙ И ТРЕХМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ

Одна из важнейших задач, возникающая в связи с изучением спектров самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, состоит в отыскании инвариантных подпространств относительно этих операторов.
Гамильтониан системы двух квантовых частиц на двумерной решетке действует в гильбертовом пространстве по формуле

Здесь означают массы частиц, которые в дальнейшем считаются равными единице, и решетчатый Лапласиан есть разностный оператор, описывающий перенос частицы с узла на соседний узел, т.е.

где единичные орты в Взаимодействие двух частиц описывается оператором