Несколько замечательных прямых

Библиотека

«Математическое просвещение»

А. Г. Мякишев

ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ

ТРЕУГОЛЬНИКА

Издательство Московского центра

непрерывного математического образования

Москва • 2002

Pantone 282 C

K

Н а у ч н о - р е д а к ц и о н н ы й с о в е т с е р и и:

В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский,

В. М. Тихомиров (гл. ред.), И. В. Ященко.

Серия основана в 1999 году.

Библиотека

«Математическое просвещение»

Выпуск 19

А. Г. Мякишев

ЭЛЕМЕНТЫГЕОМЕТРИИ

ТРЕУГОЛЬНИКА

Издательство Московского центра

непрерывного математического образования

Москва • 2002

УДК 514.112.3

ББК 22.151.0

М99

Аннотация

Геометрия треугольника справедливо считается од-

ним изинтереснейших разделов элементарной геометрии.

В данной брошюре рассматриваются различные заме-

чательные точки и прямые треугольника, а также неко-

торые преобразования плоскости, свзянные с треугольни-

ком. Брошюра содержит краткое введение в барицентриче-

ское исчисление — один изосновных методов исследования

свойств треугольника.

Текст брошюры подготовлен по материалам лекции,

прочитанной автором 13 апреля 2002 года на Малом мех-

мате МГУ для школьников 9—11 классов.

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, ин-

тересующихся математикой: школьников старших клас-

сов, студентов младших курсов, учителей…

Издание осуществлено при поддержке

Московской городской Думы

и Московского комитета образования.

ISBN 5-94057-048-8

© Мякишев А. Г., 2002.

© МЦНМО, 2002.

Мякишев Алексей Геннадьевич.

Элементы геометрии треугольника.

(Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“»).

М.: МЦНМО, 2002. — 32 с.: ил.

Редактор Ю. Л. Притыкин.

Техн. редактор М. Ю. Панов.

Лицензия ИД № 01335 от 24/III 2000 года. Подписано к печати 16/VIII 2002 года.

Формат бумаги 60

88

1

/

16

. Офсетная бумага № 1. Офсетная печать. Физ. печ. л. 2,00.

Усл. печ. л. 1,96. Уч.-изд. л. 2,10. Тираж 2000 экз. Заказ 2802.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования.

119002, Москва, Г-2, Бол. Власьевский пер., 11. Тел. [phone].

Отпечатано в ФГУП «Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ».

140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел. [phone].

ВВЕДЕНИЕ

Рис. 1. M — центр

масс — точка пере-

сечения медиан тре-

угольника.

Рис. 2. O — центр

описанной около тре-

угольника окружнос-

ти — точка пересече-

ния серединных пер-

пендикуляров.

Рис. 3. I — центр впи-

санной в треугольник

окружности — точка

пересечения

биссек-

трис.

Рис. 4. H — орто-

центр — точка пере-

сечения

высот

тре-

угольника.

Крылатую фразу Козьмы Пруткова «Никто

не обнимет необъятного» в полной мере можно

отнести и к геометрии треугольника. В самом де-

ле, треугольник, как кладезь прекрасных и по-

разительных геометрических конструкций, пои-

стине неисчерпаем. Их пестрота и изобилие, с тру-

дом поддающиеся какой-либо систематизации, не

могут не восхищать. Впрочем, иной разэти бла-

городные чувства перерастают в изумлённое раз-

дражение, едва ли не в протест: если уж с виду

такая «игрушечная» область геометрии настоль-

ко сложна, то в чём же вообще тогда можно разо-

браться?

Интересно попробовать понять, а почему тот

или иной результат геометрии треугольника ока-

зывает на нас большее или меньшее воздействие.

В грубом приближении ответ на этот вопрос следу-

ющий: красивая теорема в геометрии треугольни-

ка связана, как правило, с замечательными точ-

ками, прямыми или окружностями. Но прямая

или окружность замечательна, если содержит

какие-нибудь замечательные точки треугольни-

ка. В точки эти, стало быть, всё и упирается. Одна-

ко как сравнивать степень их «замечательности»

между собой? Очевидно, точка тем более замеча-

тельна, чем с более естественными и содержатель-

ными конфигурациями треугольника она взаи-

модействует. Поэтому в первый ряд следует по-

ставить, конечно, таких заслуженных ветеранов,

как M — точку пересечения медиан (центр тяже-

сти), рис. 1, O — центр описанной окружности,

рис. 2, I — центр вписанной окружности, рис. 3,

H — точку пересечения высот (ортоцентр), рис. 4.

Не испортит общей картины и молодёжь: точка G

Жергонна (рис. 5) и точка N Нагеля (рис. 6)*).

С точками первого порядка связаны и пер-

воклассные результаты — теоремы о прямой Эй-

лера, окружности девяти точек. Далее, точками

второго порядка можно считать точки, являющи-

еся «производными» от точек первого порядка,

*) Молодёжь, поскольку первые четыре точки встречаются

ещё у Евклида, а последние две, насколько известно, были

открыты примерно 200 лет назад.

3

Рис. 5. G — точка Жергонна — точка пере-

сечения прямых, проходящих черезточ-

ки касания вписанной окружности со сто-

ронами треугольника и противолежащие

вершины.

Рис. 6. N — точка Нагеля — точка пере-

сечения прямых, проходящих черезточ-

ки касания вневписанных окружностей

со сторонами треугольника и противоле-

жащие вершины.

Рис. 7. L — точка Лемуана — точка, изогонально сопряжённая точке пересечения

медиан, т. е. точка, пересечения прямых, симметричных медианам относительно

соответствующих биссектрис треугольника.

Рис. 8. H

m

— антиортоцентр — точка,

изотомически сопряжённая ортоцентру,

т. е. точка пересечения прямых, проходя-

щих черезточки, симметричные основа-

ниям высот относительно середин сторон,

и соответствующие вершины.

Рис. 9. I

m

— точка пересечения антибис-

сектрис — точка, изотомически сопря-

жённая центру вписанной в треугольник

окружности.

4

Рис. 10. G

l

— точка, изогонально сопря-

жённая точке Жергонна.

Рис. 11. N

l

— точка, изогонально сопря-

жённая точке Нагеля.

т. е. полученные изних под действием какого-нибудь преобразова-

ния (к примеру, изотомического или изогонального сопряжения —

эти преобразования мы ещё рассмотрим в дальнейшем) или как пере-

сечение каких-нибудь замечательных линий первого порядка и т. д.

Сюда можно отнести, в первую очередь, точку L Лемуана (точку пе-

ресечения прямых, симметричных медианам относительно соответ-

ствующих биссектрис, такое преобразование и называется изогональ-

ным сопряжением), рис. 7, антиортоцентр треугольника H

m

(точку

пересечения прямых, проходящих черезточки, симметричные осно-

ваниям высот относительно соответствующих середин сторон, и про-

тиволежащие вершины, это преобразование называется изотомиче-

ским сопряжением), рис. 8, точку I

m

пересечения антибиссектрис

(изотомически сопряжённую точке пересечения биссектрис), рис. 9,

точки G

l

и N

l

(точки, изогонально сопряжённые точкам Жергонна и

Нагеля), рис. 10 и 11. Точки третьего порядка определяются анало-

гично, как «производные» точек второго порядка и т. д. Понятно, что

с ростом порядка количество точек стремительно растёт, впрочем,

столь же стремительно проигрывая в качестве: чем больше порядок,

тем геометрические связи между ними бледнее и невыразительней.

ТЕОРЕМА ЧЕВЫ

Большинство замечательных точек треугольника могут быть по-

лучены при помощи следующей процедуры.

Пусть у нас имеется некоторое правило, согласно которому мы

сможем выбрать определённую точку A

1

на стороне BC (или её про-

должении) треугольника ABC (например, выберем середину этой

стороны). Затем построим а н а л о г и ч н ы е точки B

1

, C

1

на двух

других сторонах треугольника (в нашем примере — ещё две середи-

ны сторон). Если правило выбора у д а ч н о е, то прямые AA

1

, BB

1

,

CC

1

пересекутся в некоторой точке Z (выбор середин сторон в этом

5

смысле, конечно, удачный). Например, все замечательные точки

рис. 1, 3—11 получаются именно так.

Поэтому хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позво-

ляющий по положению точек на сторонах треугольника определять,

пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке

или нет.

Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашёл

в 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева (отрезки, соеди-

няющие вершины треугольника с точками на противолежащих

сторонах, называют чевианами — понятно, почему). Можно сказать,

что эта теорема служит фундаментом всей геометрии треугольника.

Теорема Чевы:

A

B

C

Z

A

1

C

1

B

1

Рис. 12

случай внутренней точки

Выберем в произвольном треугольнике

ABC точки A

1

, B

1

, C

1

на сторонах BC, CA,

AB соответственно (рис. 12). Следующие

два утверждения равносильны:

а) прямые AA

1

, BB

1

, CC

1

пересекаются

в некоторой внутренней точке Z треуголь-

ника ABC;

б)

BA

1

CA

1



CB

1

AB

1



AC

1

BC

1

= 1 (условие Чевы).

Доказать прямую теорему Чевы (а

б) проще всего, заменив от-

ношения отрезков в условии Чевы на отношение площадей:

BA

1

CA

1

=

S

ABA

1

S

ACA

1

=

S

BZA

1

S

CZA

1

,

следовательно,

BA

1

CA

1

=

S

ABA

1

S

BZA

1

S

ACA1

S

CZA1

=

S

BZA

S

CZA

.

Точно так же получим, что

CB

1

AB

1

=

S

CZB

S

BZA

,

AC

1

BC

1

=

S

CZA

S

CZB

.

Теперь осталось только перемножить эти три равенства:

BA

1

CA

1



CB

1

AB

1



AC

1

BC

1

=

S

BZA

S

CZA



S

CZB

S

BZA



S

CZA

S

CZB

= 1.

Обратная же теорема Чевы следует изпрямой: пусть AA

1

и BB

1

пересекаются в точке Z. Пусть прямая CZ пересекает сторону AB тре-

угольника в точке C

2

. Для точек A

1

, B

1

, C

2

выполняется условие Чевы:

BA

1

CA

1



CB

1

AB

1



AC

2

BC

2

= 1.

6

Сопоставив это соотношение с заданным равенством, приходим к вы-

воду, что

AC

2

BC

2

=

AC

1

BC

1

, т. е. C

1

= C

2

.

А как запомнить, произведение каких именно отношений входит

в условие Чевы? Обойдём все три вершины треугольника, стартовав

източки B. По дороге в точку C мы наткнёмся на точку A

1

и образ уем

дробь, в числителе которой будет стоять BA

1

, а в знаменателе — CA

1

.

Далее идём из C в A, записываем второе отношение, и далее, идём

из A в B.

1. Покажите, что эта процедура не зависит от выбора «отправной»

вершины и направления обхода, т. е. что всегда будет получаться,

по сути, одно и то же равенство*).

Теорема Чевы: случай внешней точки.

Бесконечно удалённые точки плоскости

Теорема Чевы остаётся справедливой и для внешней точки Z тре-

B

C

A

Z

B

1

C

1

Рис. 13

B

C

A

A

1

B

1

C

1

Рис. 14

угольника и точек A

1

, B

1

, C

1

, одна изкоторых принадлежит стороне

треугольника, а две другие — продолжениям

сторон. (Разумеется, и «правило обхода»

остаётся в силе. Следует только помнить, что

при составлении отношений, выходя извер-

шины, мы сначала идём в точку деления —

она может теперь быть расположена вне

стороны, а потом — к очередной вершине.)

Однако, рассматривая внешние точки Z,

мы наталкиваемся на некоторые сложности.

Например, если AZ

BC, чему равно

BA

1

CA

1



CB

1

AB

1



AC

1

BC

1

(рис. 13)? Где вообще в таком случае распола-

гается точка A

1

?

Как несложно проверить, пользуясь тео-

ремой Фалеса, условию Чевы удовлетворяют

и точки A

1

, B

1

, C

1

, для которых прямые AA

1

,

BB

1

, CC

1

параллельны (рис. 14).

Чтобы не выделять эти ситуации в осо-

бые, удобно считать, что плоскость пополне-

на бесконечно удалённой прямой, составленной из бесконечно удалён-

ных точек, в каждой изкоторых пересекается какое-нибудь семей-

ство параллельных прямых. Можно поэтому считать, что бесконеч-

но удалённая точка у к а зы в а е т н а п р а в л е н и е прямой. Такую

*) Двумя чертами слева выделены упражнения для самостоятельного решения.

7

модель в математике называют проективной плоскостью. На проек-

тивной плоскости любые параллельные прямые пересекаются в не-

которой точке! — разумеется, бесконечно удалённой. При этом мы

полагаем также, что бесконечно удалённая точка Z прямой AB делит

отрезок AB пополам в н е ш н и м образом:

ZA

ZB

= 1.

2. Постройте точку, которая делит отрезок AB внешним образом

в отношении

99

100

, считая от вершины A, и точку, которая делит

отрезок в отношении

100

99

.

Решение этого упражнения показывает, что если отношение чуть

больше единицы, то искомая точка расположена п р а в е е точки A

и удалена от неё на значительное расстояние, а если чуть меньше,

то значительно л е в е е точки A. Отсюда вытекает, что, двигаясь по

прямой влево или вправо, на самом деле мы идём к одной и той же

бесконечно удалённой точке, т. е. прямая как бы замыкается, подобно

окружности.

3. Покажите, что при переводе с «проективного» языка на при-

вычный «евклидов» теорема Чевы в случае бесконечно удалённой

вершины A может быть сформулирована следующим образом.

На отрезке BC выбрана точка A

1

, а на параллельных прямых,

проходящих черезточки C и B, точки B

1

и C

1

соответственно. Тогда

прямые BB

1

, CC

1

и прямая, проходящая через A

1

параллельно двум

данным, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

BA

1

CA

1



CB

1

BC

1

= 1.

Теорема Чевы в форме синусов

В каждом израссмотренных случаев — и в случае внутренней

точки Z, и в случае внешней точки Z — условие Чевы можно записать

также в виде

sin

∠

ACC

1

sin

∠

BCC

1



sin

∠

CBB

1

sin

∠

ABB

1



sin

∠

BAA

1

sin

∠

CAA

1

= 1.

Доказательство равносильности этих условий не сложно. Действи-

тельно, применив теорему синусов к треугольникам ACC

1

и BCC

1

,

имеем:

AC

1

CC

1

=

sin

∠

ACC

1

sin

∠

CAC

1

и

BC

1

CC

1

=

sin

∠

BCC

1

sin

∠

CBC

1

.

Разделив одно равенство на другое, получаем:

AC

1

BC

1

=

sin

∠

CBC

1

sin

∠

CAC

1



sin

∠

ACC

1

sin

∠

BCC

1

=

sin

∠

CBA

sin

∠

CAB



sin

∠

ACC

1

sin

∠

BCC

1

=

b

a



sin

∠

ACC

1

sin

∠

BCC

1

.

8

Аналогично

BA

1

CA

1

=

c

b



sin

∠

BAA

1

sin

∠

CAA

1

,

CB

1

AB

1

=

a

c



sin

∠

CBB

1

sin

∠

ABB

1

. Окончательно

имеем:

1 =

BA

1

CA

1



CB

1

AB

1



AC

1

BC

1

=

c

b



sin

∠

BAA

1

sin

∠

CAA

1



a

c



sin

∠

CBB

1

sin

∠

ABB

1



b

a



sin

∠

ACC

1

sin

∠

BCC

1

=

=

sin

∠

BAA

1

sin

∠

CAA

1



sin

∠

CBB

1

sin

∠

ABB

1



sin

∠

ACC

1

sin

∠

BCC

1

.

Для внешней точки Z рассуждение аналогично (проведите его само-

стоятельно).

Некоторые замечательные точки треугольника. Теорема Карно

Посмотрим, как «работает» теорема Чевы.

Будем называть прямые конкурентными, если они пересекаются

в одной точке.

Ц е н т р в п и с а н н о й о к р у ж н о с т и I (см. рис. 3). Применив

теорему Чевы в форме синусов, мгновенно получаем, что биссектрисы

конкурентны.

О р т о ц е н т р Н (см. рис. 4). Теперь докажем, что высоты тре-

угольника пересекаются в одной точке, ограничившись случаем ост-

роугольного треугольника (случай тупоугольного треугольника раз-

берите самостоятельно). Условие Чевы в форме синусов с использова-

нием известного соотношения sin(90

◦



a

) = cos

a

записывается в виде

cos

a

cos

b 

cos

b

cos

c 

cos

c

cos

a

= 1.

Ц е н т р о п и с а н н о й о к р у ж н о с т и O (см. рис. 2). Очевид-

Рис. 15

но, что два серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пе-

ресекаются в точке, равноудалённой от

всех трёх вершин треугольника, и зна-

чит, эта точка лежит и на третьем сере-

динном перпендикуляре.

Но как доказать этот несложный

факт, пользуясь теоремой Чевы? Из

принципиальных соображений это хоте-

лось бы сделать и в данном случае. Од-

нако здесь возникают затруднения, по-

скольку по природе своей теорема Чевы

создана для выявления конкурентности

ч е в и а н, а не п е р п е н д и к у л я р о в

к сторонам треугольника. Возникшее затруднение можно преодо-

леть, рассмотрев серединный треугольник (рис. 15). Поскольку

средние линии параллельны сторонам исходного треугольника,

серединные перпендикуляры являются высотами серединного тре-

угольника. И мы свели задачу к предыдущей!

9

Есть и более содержательный подход к этой проблеме.