Несколько замечательных прямых

Изоциркулярное преобразование и бесконечно удалённая прямая

Как уже упоминалось на стр. 17, изоциркулярное преобразование

является проективным, т. е. переводит точки, лежащие на одной пря-

мой, в точки, лежащие на одной прямой. Другими словами, изоцир-

кулярное преобразование переводит прямые в прямые (на проектив-

30

ной плоскости). Докажем это. Рассмотрим прямую, задаваемую урав-

нением px + qy + rz = 0. Каждую точку Z(x

0

, y

0

, z

0

), лежащую на ней,

изоциркулярное преобразование переводит в точку Z

c



x

0

a

,

y

0

b

,

z

0

c



.

Для них

apx+bqy+crz=px

0

+ qy

0

+ rz

0

= 0.

Таким образом, изоциркулярное преобразование переводит прямую

с уравнением px + qy + cz = 0 в прямую с уравнением apx + bqy + crz = 0.

A

B

C

Z

I

Рис. 34

Посмотрим, какая прямая переходит при изоциркулярном пре-

образовании в бесконечно удалённую прямую. Чтобы прямая, зада-

ваемая уравнением apx + bqy + crz = 0, являлась бесконечно удалён-

ной (с уравнением x + y + z = 0), должны выполняться равенства ap =

= bq = cr = 1. Таким образом, искомой является прямая с уравнением

x

a

+

y

b

+

z

c

= 0

— поляра центра вписанной окружности I (или прямая, двойствен-

ная I

m

, что равносильно), рис. 34.

22. Покажите, что изоциркулярное преобразование переводит

бесконечно удалённую прямую в поляру точки I

m

.

31

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Геометрия треугольника, наравне со многими другими разде-

Рис. 35

A

B

C

B

1

A

1

C

1

Z

лами элементарной математики, даёт возможность почувствовать

красоту математики вообще и может стать для кого-то началом

пути в «большую науку». Кроме того, каждый любитель геометрии

треугольника имеет шанс от-

крыть нечто новое и пополнить

её сокровищницу собственной

драгоценной находкой, ибо гео-

метрия поистине неисчерпаема!

Чтобы не быть голослов-

ным, приведу один пример, тем

более что он связан с одной из

рассмотренных нами выше тем.

А именно, вернёмся к рис. 23.

Несколько лет назад один

изз

натоков элементарной гео-

метрии Лев Емельянов открыл

и доказал [7], что если провести

на этом рисунке окружность,

касающуюся внешним образом

трёх окружностей, вписанных

в сегменты, то она всегда будет касаться вписанной в треуголь-

ник окружности (вне зависимости от выбора начальной точки Z,

расположенной внутри треугольника), рис. 35!

Таким образом, выражаясь возвышенно, на небосводе геометрии

треугольника зажглась ещё одна звезда первой величины.

ЛИТЕРАТУРА

[1] М. Б а л к, В. Б о л т я н с к и й. Геометрия масс. — М.: Наука,

1987.

[2] А. М я к и ш е в. О некоторых преобразованиях, связанных с тре-

угольником // Математическое образование. № 1 (8). 1999.

[3] В. П р а с о л о в. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО, 2001.

[4] В. П р а с о л о в. Точки Брокара и изогональное сопряжение. —

М.: МЦНМО, 2000. — (Библиотека «Математическое просвеще-

ние». Вып. 4).

[5] C. K i m b e r l i n g. Triangle Centers and Central Triangles. —

Winnipeg, 1998.

[6] C. K i m b e r l i n g. Encyclopedia of Triangle Centers. —

http://www2.evansville.edu/ck6/encyclopedia/

[7] L. E m e l y a n o v. A Feuerbach Type Theorem on Six Circles // Fo-

rum Geometricorum. Vol. 1. 2001. — http://forumgeom.fau.edu/

32

БИБЛИОТЕКА

«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОСВЕЩЕНИЕ»

ВЫПУСК 1

В. М. Т и х о м и р о в. Великие

математики прошлого и их ве-

ликие теоремы.

ВЫПУСК 2

А. А. Б о л и б р у х. Проблемы

Гильберта (100 лет спустя).

ВЫПУСК 3

Д. В. А н о с о в. Взгляд на мате-

матику и нечто изнеё.

ВЫПУСК 4

В. В. П р а с о л о в. Точки Брока-

ра и изогональное сопряжение.

ВЫПУСК 5

Н. П. Д о л б и л и н. Жемчужи-

ны теории многогранников.

ВЫПУСК 6

А. Б. С о с и н с к и й. Мыльные

плёнки и случайные блуждания.

ВЫПУСК 7

И. М. П а р а м о н о в а.

Сим-

метрия в математике.

ВЫПУСК 8

В. В. О с т р и к, М. А. Ц ф а с м а н.

Алгебраическая геометрия

и теория чисел: рациональные

и эллиптические кривые.

ВЫПУСК 9

Б. П. Г е й д м а н. Площади мно-

гоугольников.

ВЫПУСК 10

А. Б. С о с и н с к и й. Узлы и косы.

ВЫПУСК 11

Э. Б. В и н б е р г.

Симметрия

многочленов.

ВЫПУСК 12

В. Г. С у р д и н. Динамика звёзд-

ных систем.

ВЫПУСК 13

В. О. Б у г а е н к о. Уравнения

Пелля.

ВЫПУСК 14

В. И. А р н о л ь д. Цепные дроби.

ВЫПУСК 15

В. М. Т и х о м и р о в. Дифферен-

циальное исчисление (теория и

приложения).

ВЫПУСК 16

В. А. С к в о р ц о в. Примеры

метрических пространств.

ВЫПУСК 17

В. Г. С у р д и н. Пятая сила.

ВЫПУСК 18

А. В. Ж у к о в.

О числе

p

.

ВЫПУСК 19

А. Г. М я к и ш е в. Элементы

геометрии треугольника.