Несколько замечательных прямых

16. Докажите, что середины сторон, основания высот треуголь-

ника и середины отрезков, соединяющих вершины треугольника

с ортоцентром, лежат на одной окружности — о к р у ж н о с т и

Э й л е р а или о к р у ж н о с т и д е в я т и т о ч е к (см. рис. 31).

17. Докажите, что точка E — центр окружности Эйлера — лежит

на прямой Эйлера, причём OE = EH (см. рис. 31).

25

Изотомическое и изогональное сопряжения

в барицентрических координатах

И з о т о м и ч е с к о е с о п р я ж е н и е. Если точка Z имеет бари-

центрические координаты (p, q, r), то барицентрические координаты

точки Z

m

, изотомически сопряжённой Z, выражаются следующим

образом: Z

m

=



1

p

,

1

q

,

1

r



. Это утверждение очевидно: по определению

изотомического сопряжения BA

1

= CA

2

, где A

1

— точка пересечения

прямых AZ и BC, а A

2

— AZ

m

и BC.

18. Найдите координаты антиортоцентра H

m

, точки пересечения

антибиссектрис I

m

и O

m

— изотомического образа центра описанной

окружности.

И з о г о н а л ь н о е с о п р я ж е н и е. Координаты точки Z

l

— изого-

нального образа точки Z(p, q, r) — выражаются следующим образом:

Z

l

=



a

2

p

,

b

2

q

,

c

2

r



=



sin

2

a

p

,

sin

2

b

q

,

sin

2

c

r



.

Докажем это. В обозначениях рис. 32

BA

2

CA

2

=

S

BAA

2

S

CAA

2

=

1

2

c AA

2

sin

∠

BAA

2

1

2

b AA

2

sin

∠

CAA

2

=

c

b



sin

∠

BAA

2

sin

∠

CAA

2

=

A

B

C

A

1

A

2

Рис. 32

=

c

b



sin

∠

CAA

1

sin

∠

BAA

1

=

c

b



CA

1



sin

∠

CA

1

A

b

BA

1



sin

∠

BA

1

A

c

=

c

2

b

2



q

r



мы дважды использовали теорему синусов —

sin

∠

CAA

1

CA

1

=

sin

∠

CA

1

A

b

,

sin

∠

BAA

1

BA

1

=

sin

∠

BA

1

A

c

— и равенство sin

∠CA

1

A=sin ∠BA

1

A



. Ана-

логично

CB

2

AB

2

=

a

2

c

2



r

p

,

AC

2

BC

2

=

b

2

a

2



p

q

.

Воспользовавшись приведённым на стр. 19 методом вычисления

барицентрических координат, находим:

Z

l

=



1,

AC

2

BC

2

,

AC

2

BC

2



BA

2

CA

2



=



1,

b

2

p

a

2

q

,

b

2

pc

2

q

a

2

qb

2

r



=



1,

b

2

p

a

2

q

,

pc

2

a

2

r



.

Домножив все три координаты на

a

2

p

, окончательно получаем:

Z

l

=



a

2

p

,

b

2

pa

2

a

2

qp

,

pc

2

a

2

a

2

rp



=



a

2

p

,

b

2

q

,

c

2

r



.

19. Найдите координаты точки Лемуана L=M

l

, а также точек G

l

и N

l

, изогонально сопряжённых точкам Жергонна и Нагеля.

26

20. Е щ ё ч е т ы р е з а м е ч а т е л ь н ы е п р я м ы е (см. также

4-ю стр. обложки).

а) Антиортоцентр H

m

, точка пересечения медиан M, точка Лему-

ана L лежат на одной прямой, и

H

m

M

ML

= 2.

б) Точка Нагеля N, точка I

m

, изотомически сопряжённая цен-

тру вписанной окружности, антиортоцентр H

m

и точка Жергонна G

лежат на одной прямой.

в) Ортоцентр H, антиортоцентр H

m

и точка O

m

, изотомически со-

пряжённая центру описанной окружности, лежат на одной прямой.

г) I и O — центры вписанной и описанной окружностей — и точ-

ки G

l

и N

l

, изогонально сопряжённые точкам Жергонна и Нагеля,

лежат на одной прямой.

Изоциркулярное преобразование в барицентрических координатах

Вычислим барицентрические координаты изоциркулярного об-

раза Z

c

точки Z(p, q, r).

По лемме Архимеда A

1

A

2

— биссектриса угла BA

1

C, поэтому

BA

2

CA

2

=

BA

1

CA

1

(см. рис. 23 и 25). Преобразуем это отношение, используя

теорему синусов и рассуждения, проведённые на стр. 16:

BA

2

CA

2

=

sin

∠

BAA

1

sin

∠

CAA

1

=

sin

∠

BAA



1

sin

∠

CAA



1

=

sin

∠

AA



1

B

AB

BA



1

sin

∠

AA



1

C

AC

CA



1

=

b

c



r

q

,

где A



1

— точка пересечения прямых AA

1

и BC. Аналогично получаем

равенства

CB

2

AB

2

=

c

a



p

r

и

AC

2

BC

2

=

a

b



q

p

. Поэтому

Z

c

=



1,

AC

2

BC

2

,

AC

2

BC

2



BA

2

CA

2



=



1,

aq

bp

,

aqbr

bpcq



=



1,

aq

bp

,

ar

pc



.

Домножив все три координаты на

p

a

, окончательно получаем:

Z

c

=



p

a

,

q

b

,

r

c



.

Изоциркулярное преобразование в некотором смысле является

средним между изогональным и изотомическим сопряжениями,

а именно, (F

c

)

2

= F

m

◦F

l

, т. е., действуя дважды на произвольную

точку плоскости изоциркулярным преобразованием, получим такой

же результат, как если бы мы сначала подействовали на неё изого-

нальным сопряжением, а затем на полученный образ изотомическим

сопряжением.

27

Действительно, пусть точка Z имеет барицентрические коор-

динаты (x

0

, y

0

, z

0

). Тогда F

c

(Z) =



x

0

a

,

y

0

b

,

z

0

c



, (F

c

)

2

(Z) =



x

0

a

2

,

y

0

b

2

,

z

0

c

2



.

С другой стороны, F

l

(Z) =



a

2

x

0

,

b

2

y

0

,

c

2

z

0



, F

m

(F

l

(Z)) =



x

0

a

2

,

y

0

b

2

,

z

0

c

2



. Заме-

тим, что порядок, в котором применяются изогональное и изотоми-

ческое сопряжения, важен.

Введём обратное изоциркулярное преобразование F

1

c

, так что

F

c

◦F

1

c

= Id = F

1

c

◦F

c

(геометрически это означает, что сначала нуж-

но отмечать точки пересечения прямых со сторонами треугольника,

потом вписывать в сегменты окружности, касающиеся сторон в от-

меченных точках, и наконец, проводить прямые извершин в точки

касания этих окружностей с описанной окружностью). Справедливо

аналогичное соотношение: (F

1

c

)

2

= F

l

◦F

m

.

Уравнение прямой. Двойственность

Найдём уравнение прямой в барицентрических координатах. Вы-

берем две точки X(p

1

, q

1

, r

1

) и Y(p

2

, q

2

, r

2

). По лемме о трёх точках на

прямой XY лежит также и любая точка Z(

l

p

1

+

m

p

2

,

l

q

1

+

m

q

2

,

l

r

1

+

m

r

2

)

(числа

l

и

m

не равны одновременно нулю). При этом

XZ

YZ

=



 m

l 

p

2

+ q

2

+ r

2

p

1

+ q

1

+ r

1



,

в зависимости от знака выражения m

l 

p

2

+ q

2

+ r

2

p

1

+ q

1

+ r

1

точка Z делит от-

резок XY внутренним или внешним образом. Понятно, что варьи-

руя значения

l

и

m

, мы можем так получить любую точку на пря-

мой XY. Л и н е й н а я зависимость координат X, Y и координат точ-

ки Z, «пробегающей» по всей прямой XY, наводит на мысль, что урав-

нение прямой XY стоит поискать среди л и н е й н ы х выражений

kx+ly+mz=n.

Попробуем подобрать коэффициенты k, l, m, n. Во-первых, в силу

однородности для любого

n

0 вместе с тройкой (x, y, z) уравнению

должна удовлетворять и тройка (

n

x,

n

y,

n

z). Поэтому n=0. Во-вторых,

поскольку точки X и Y лежат на прямой XY, должны выполняться

равенства



kp

1

+ lq

1

+ mr

1

= 0,

kp

2

+ lq

2

+ mr

2

= 0.

(**)

Уравнений — два, а неизвестных — три. Поэтому мы сумеем опре-

делить изэтой системы коэффициенты k, l, m лишь с точностью

до некоторого действия (в нашем случае — с точностью до умноже-

ния всех коэффициентов на некоторое число). Возможны два случая:

28

либо k = 0, либо k

0. При k=0 получаем систему



lq

1

+ mr

1

= 0,

lq

2

+ mr

2

= 0,

откуда q

1

r

2

q

2

r

1

= 0. Если же k

0, то q

1

r

2

q

2

r

1

0 (проверьте!).

А поскольку мы всё равно ищем решение (k, l, m) с точностью до

умножения на некоторое число, положим k = q

1

r

2

q

2

r

1

. Система (**)

тогда переписывается в виде



(q

1

r

2

q

2

r

1

)p

1

+ lq

1

+ mr

1

= 0,

(q

1

r

2

q

2

r

1

)p

2

+ lq

2

+ mr

2

= 0.

Решить её уже не составляет труда. Получаем:

l=r

1

p

2

r

2

p

1

,

m =p

1

q

2

p

2

q

1

.

Осталось проверить, что уравнению

(q

1

r

2

q

2

r

1

)x + (r

1

p

2

r

2

p

1

)y + (p

1

q

2

p

2

q

1

)z = 0

действительно удовлетворяют все точки Z прямой XY и только они.

21. Проделайте это.

Заметим, что попутно мы выяснили интересный факт: как и са-

ми барицентрические координаты точек, коэффициенты в уравне-

нии прямой о п р е д е л е н ы с т о ч н о с т ь ю д о у м н о ж е н и я н а

н е н у л е в о е ч и с л о. Это обстоятельство лежит в основе п р о е к-

т и в н о й д в о й с т в е н н о с т и — соответствия между точками и пря-

мыми проективной плоскости: точке (k, l, m) ставится в соответствие

прямая kx + ly + mz = 0, и наоборот. При этом запрещены как «точка»

(0, 0, 0), так и «прямая» с уравнением 0x + 0y + 0z = 0.

При двойственности сохраняется «отношение принадлежности»:

если точка A лежит на прямой a, то прямая A

д

(двойственная точке A)

проходит черезточку a

д

(двойственную прямой a). Факт пересечения

трёх прямых p

1

x+q

1

y+r

1

z =0, p

2

x+q

2

y+r

2

z =0, p

3

x+q

3

y+r

3

z =0 в од-

ной точке и факт принадлежности трёх точек (p

1

, q

1

, r

1

), (p

2

, q

2

, r

2

),

(p

3

, q

3

, r

3

) одной прямой записываются одинаково: система

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

p

1

x+q

1

y+r

1

z=0,

p

2

x+q

2

y+r

2

z=0,

p

3

x+q

3

y+r

3

z=0

должна иметь решение, отличное от (0, 0, 0) (т. е. на самом деле бес-

конечно много решений). По-другому это можно записать так:





p

1

q

1

r

1

p

2

q

2

r

2

p

3

q

3

r

3



=p

1

q

2

r

3

+ q

1

r

2

p

3

+ r

1

p

2

q

3

r

1

q

2

p

3

q

1

p

2

r

3

p

1

r

2

q

3

= 0

(определитель равен нулю).

29

Проиллюстрируем двойственность на примере. Рассмотрим

теорему о прямой Эйлера: точки H, O, M лежат на одной прямой.

Двойственная теорема звучит так: прямые H

д

, O

д

, M

д

пересекаются

в одной точке.

Отметим, что прямая с уравнением x + y + z = 0, двойственная

Рис. 33

A

B

C

Z

A

1

B

1

C

1

точке M(1, 1, 1), является бесконечно удалённой прямой, поскольку

для любой точки, лежащей на этой прямой, сумма барицентрических

координат равна нулю (см. стр. 20). По-

этому полученный выше факт можно

переформулировать следующим обра-

зом: прямые O

д

и H

д

параллельны.

Прямую,

двойственную

точке

Z(k, l, m), легко построить геометриче-

ски. Для этого сначала проведём через

точку Z три чевианы AA

1

, BB

1

, CC

1

.

Точки пересечения прямых A

1

B

1

и AB,

B

1

C

1

и BC, C

1

A

1

и CA лежат на од-

ной прямой. Этот факт представляет

собой знаменитую теорему Дезарга,

одну изосновных теорем проективной

геометрии (рис. 33). Его несложно

получить, используя выведенное урав-

нение прямой. Покажите, что точки

пересечения изтеоремы Дезарга име-

ют координаты (0,

l, m), (k, 0, m),

(

k, l, 0), и убедитесь, что определи-

тель, составленный изих координат,

равен нулю, а уравнение прямой, проходящей черезэти точки, имеет

вид lmx + kmy + klz = 0, или, с учётом однородности,

x

k

+

y

l

+

z

m

= 0.

В этой конструкции точка Z называется полюсом, а построенная пря-

мая — полярой.

Прямая, двойственная точке Z(k, l, m), задаётся уравнением

kx+ly+mz=0, а поляра точки Z

m



1

k

,

1

l

,

1

m



имеет то же уравне-

ние. Итак, прямая, двойственная точке Z, есть поляра точки Z

m

—

изотомического образа точки Z.