Норма (математика)

---

Норма (математика)
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины
вектора или абсолютного значения числа.
Определение
Норма вектора
Норма матрицы
Норма оператора
Свойства нормы
Эквивалентность норм
Примеры
Линейные нормированные пространства
«L0 норма»
Некоторые виды матричных норм
Связанные понятия
Топология пространства и норма
См. также
Примечания
Норма в векторном пространстве 
над полем вещественных или комплексных чисел — это
функционал 
, обладающий следующими свойствами:
1. 
2. 
(неравенство треугольника);
3. 
Эти условия являются аксиомами нормы.
Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1—
3) — также аксиомами нормированного пространства.
Содержание
Определение
Норма вектора

---

Из аксиом нормы очевидным образом вытекает свойство неотрицательности нормы:
.
Действительно, из третьего свойства следует: 
, а из свойства
2 — 
.
Чаще всего норму обозначают в виде: 
. В частности, 
— это норма элемента векторного
пространства .
Вектор с единичной нормой 
называется единичным или нормированным.
Любой ненулевой вектор можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор
имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем
сонаправленный вектор единичной длины.
Нормой матрицы называется вещественное число 
, удовлетворяющее первым трём из
следующих условий:
1. 
, причём 
только при 
;
2. 
, где 
;
3. 
;
4. 
.
Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется субмультипликативной.
Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к
норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные
нормы субмультипликативны.
Матричная норма 
из 
называется согласованной с векторной нормой 
из 
и
векторной нормой 
из 
если справедливо:
для всех 
.
Норма оператора — число, которое определяется так:
,
где — оператор, действующий из нормированного пространства  в
нормированное пространство .