Норма (математика)

Норма матрицы
Норма оператора

---

Это определение эквивалентно следующему:
Свойства операторных норм:
1. 
, причём 
только при 
;
2. 
, где 
;
3. 
;
4. 
.
В конечномерном случае, оператору в некотором базисе соответствует матрица — матрица
оператора. Если норма на пространстве(пространствах), где действует оператор, допускает одно
из стандартных выражений в базисе, то свойства нормы оператора повторяют аналогичные
свойства нормы матрицы.
1. 
2. 
3. 
[косинус угла]
4. 
5. 
Две нормы и на пространстве называются эквивалентными, если существует
две положительные константы 
и 
такие, что для любого 
выполняется
. Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую
топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны
[1]
.
Любое предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как
скалярное произведение порождает естественную норму
Гёльдеровы нормы -мерных векторов (семейство): 
,
Свойства нормы
Эквивалентность норм
Примеры
Линейные нормированные пространства

---

Изображение
единичных
окружностей для
различных норм.
где 
(обычно подразумевается, что это натуральное число). В
частности:
, что также имеет название метрика L1,
норма  или манхэттенское расстояние. Для вектора
представляет собой сумму модулей всех его элементов.
, что также имеет название метрика L2,
норма  или евклидова норма. Является геометрическим
расстоянием между двумя точками в многомерном
пространстве, вычисляемым по теореме Пифагора.
(это предельный случай 
).
Нормы функций в 
 — пространстве вещественных (или
комплексных) непрерывных функций на отрезке [0,1]:
— в смысле этой нормы пространство
 непрерывных на отрезке функций образует полное
линейное пространство. Этого нельзя сказать о следующих
двух примерах нормы на этом пространстве, тем не менее,
законных:
Аналогично можно ввести нормы для конечномерных векторных функций
конечномерных векторных аргументов, заменив 
на 
, а интегрирование
по отрезку интегрированием по области (максимум же на отрезке — в
соответствующем случае — максимумом на области).
Особым случаем является (L0-«норма»), определяемая как количество ненулевых элементов
вектора. Строго говоря, это не является нормой, так как не выполняется третья аксиома нормы. В
основном таким видом «нормы» пользуются в задачах разреженного кодирования, в частности в
Compressive sensing, где нужно найти наиболее разреженное представление вектора (с
наибольшим количеством нулей), то есть с наименьшей -нормой. С помощью этой «нормы»
может быть определенно расстояние Хэмминга.
Порожденные нормы 
: