Новые технологии и средства

Рисунок 17 – Зависимость длины доверительного интервала
от измеряемой величины















х
т
т
х
т
т
х
х
ε
,
1
ε
ε
,
0
ε
,
1
)
(
1
1
1
1
.
(24)
В данном случае это будет при 
в



х
, 
0

х
и 
в


х
, что возможно 
только в том случае, когда 
A
W состоит из трех дельта-функций обращаю-
щихся в бесконечность в этих точках, т.е. если  является дискретной 
случайной величиной со значениями 
в


, 0 и 
в
 . Такая дискретная вели-
чина будет иметь заданное значение дисперсии 

2
, если:

---

111 


















2
в
2
в
в
2
/
P
P
,
(25) 
при 


Δ
/
σ
1
0
2
в
2
в




P
. 
В результате наихудшим будет распределение: 
 

  
x
δ
α
1
α
σ
α
σ
2
α





























x
x
x
W
.
(26) 
В теории информации наихудшими распределениями являются те, 
которые при заданных ограничениях обеспечивают максимум энтро-
пии H , определяемой по формуле: 
 
 







dx
x
W
x
W
H
ln
.
(27) 
Среди всех случайных величин с заданным значением дисперсии наи-
большую энтропию будет иметь величина с нормальным распределением, 
а среди всех случайных величин с заданным интервалом возможных значе-
ний наибольшую энтропию имеет величина с равномерным распределени-
ем. В этих случаях наихудшими будут дискретные случайные величины.
В таблице 31 приведены оценки 
м
в.
γ
в соответствии с зависимостью 
(22) и значения 
в
γ при нормальном 
)
(γ
г
в.
и равномерном распределении 
погрешности 
)
(γ
р
в.
определенные по зависимости (29): 


σ
γ
дов
н
н




Р
; 


σ
дов
в
в




Р
. 
(28) 
Оценка 

в
по зависимости (29) применима как для единичных изме-
рений, так и при обработке результатов ряда измерений. Во втором случае 
вместо 
2
σ

используется 
N
/
σ
2

. 
Таблица 31 – Границы доверительного интервала 
Р
дов
г
в.
γ
р
в.
γ
м
в.
γ
0,90 
1,7 
1,6 
3,2 
0,95 
2,0 
1,7 
4,5 
0,99 
2,6 
1,7 
10,0 
При большом числе измерений происходит нормализация среднего 
арифметического и для определения доверительного интервала можно ис-

---

112 
пользовать формулу (30), что существенно уменьшает длину доверитель-
ного интервала: 




2
α
1
Ф
1
н.г
в.г
дов
г








Р
,
(29) 
где Ф
1

– функция, обратная интегралу вероятности. 
Таким образом, при малом числе измерений (

N
4-5) границы дове-
рительного интервала оцениваются в соответствии с зависимостью (22), 
при большем числе (

N
20-30) – в зависимости с формулой (29). 
Развитием рассмотренного метода являются методы адаптивной об-
работки результатов измерений, которые предполагают изменение алго-
ритмов обработки входящих в них параметров в зависимости от характера 
обрабатываемой информации. При адаптивной обработке процессы полу-
чения априорной информации и собственно обработки оказываются со-
вмещенными. 
Применение адаптивных методов обработки целесообразно в двух 
случаях. Во-первых, когда исходной информации недостаточно для по-
строения рационального алгоритма обработки. Во-вторых, когда свойства 
обрабатываемых данных изменяются в процессе обработки. Применительно 
к задачам обработки измерительной информации имеют место оба случая. 
Многие методы обработки результатов измерений [94, 99, 130] могут 
рассматриваться как частные случаи первого вида адаптивной обработки. 
Например, построение интервальной оценки измеряемой величины по не-
скольким нормально распределенным результатам измерения предполагает 
первоначальную оценку дисперсии по результатам измерений. Другим ва-
риантом адаптации алгоритма обработки может быть проверка по результа-
там измерений некоторой совокупности моделей законов распределения, 
выбор наиболее адекватной модели и ее дальнейшее использование при по-
строении алгоритма обработки. В этом случае алгоритм получения резуль-
тата измерения будет зависеть от того, какое из рассматриваемых распреде-
лений наиболее соответствует экспериментальным данным [56, 141]. 

---

113 
Наиболее полно возможность трактовки алгоритмов обработки ре-
зультатов измерений как адаптивных проявляется в тех случаях, когда за-
ранее не оговорено число измерений, а обработка производится в темпе 
поступления экспериментальных данных. Тогда текущая оценка математи-
ческого ожидания будет иметь вид: 




j
v
j
v
j
m
1
изм
1
.
(30) 
Для вычисления 
m
j 1

не обязательно хранить значения всех преды-
дущих результатов измерений. Можно воспользоваться рекуррентным со-
отношением 






j
j
j
j
m
j
j
m
изм
1
1
1
1
,
(31) 
которое позволяет уточнить значение текущей оценки математического 
ожидания по предыдущей оценке, с учетом нового результата измерения. 
Соотношение (22) в общем случае обобщается следующим образом. 
Пусть по 
j
результатам построена оценка некоторого параметра 
r
j
(пара-
метр r  может быть как скалярным, так и векторным), тогда оценка 
r
j 1

, 
получаемая с учетом 


1

j
-го результата, рассчитывается следующим об-
разом: 
)
(
1
1
1
1







j
j
j
j
j
f
a
r
b
r
,
(32) 
где вид функции 
f  зависит от вида оцениваемого параметра. Выбор ко-
эффициентов 
j
а
в значительной степени произволен, необходимо лишь, 
чтобы 
0
lim


j
j
a
и чтобы они образовывали расходящийся ряд, т.е. 





1
j
j
a
. Коэффициент b
j
зависит от 
j
а
и выбирается таким образом, 
чтобы обеспечить несмещенность 
j
r
. Для алгоритма (22) коэффициенты 
j
a
j
1

и 


j
j
b
j
/
1


удовлетворяют этим условиям. 

---

114 
Алгоритм применим для большинства методов обработки измери-
тельной информации, в частности, построения точечных или интервальных 
оценок измеряемой величины, определения параметров аппроксимирую-
щих зависимостей, оценки вероятностных характеристик и т.д. Эффектив-
ность алгоритма в значительной степени зависит от удачного выбора ко-
эффициентов 
j
а
. 
Адаптивные алгоритмы могут применяться для выявления измене-
ний свойств погрешностей измерения или контролируемого объекта и со-
ответствующей корректировки алгоритмов обработки. 
Допустим, что в процессе измерений изменяются свойства средств 
измерений или условия проведения измерений, что приводит к изменению 
свойств погрешностей измерения, например, скачкообразно. Для выявле-
ния этих изменений оценивается дисперсия погрешности измерения для n  
последних текущих значений 



1
n
j
,…, 
j
и сравнивается с оценкой дис-
персии по первым 
n
j 
значениям. Сопоставляя доверительные интерва-
лы этих оценок, можно проверить предположение о равноточности первых 
n
j 
измерений и n  последних измерений. Если они окажутся равноточ-
ными, то измеряемую величину можно продолжать оценивать в соответст-
вии с зависимостью (21). Если же результаты окажутся неравноточными, 
то следует перейти к алгоритму: 
















2
2
0
2
1
0
1
1
2
2
2
1
σ
σ
σ
0
0
n
j
j
n
j
m
n
j
v
j
n
j
v
v
v
j
, 
(33) 
где 
σ
2
1
– дисперсия первых 
n
j 
0
результатов; 
σ
2
2
– дисперсия последних 
n
j
j


0
результатов; 
j
0
– номер измерения, при котором была зафиксирована неравноточ-
ность. 

---

115 
После этого, для определения следующего изменения свойств погреш-
ности необходимо проверять равноточность результатов 


1
0
n
j
,…,

 n
j
и 
последних n  результатов. Аналогичным образом при большом n  можно вы-
являть изменения законов распределения погрешности. 
Использование методов адаптивной обработки результатов измере-
ний требует соблюдения определенной процедуры контроля получаемой 
информации [150]. Для этого адаптивные алгоритмы контроля должны 
предусматривать определение неизвестных функций распределения или их 
параметров, а также выявлять их изменения.
На начальных этапах контроля, когда информация о распределениях 
отсутствует, применяются правила принятия решения ориентированные 
на наихудший случай. По мере накопления информации можно переходить 
к расчету контрольных допусков с учетом показателя распределения по-
грешностей 
W
y
. 
Источником информации о распределениях погрешности являются 
результаты измерения 

, получаемые в процессе контроля. Распределение 
результатов измерения представляет собой свертку распределения контро-
лируемого показателя 
W
y
и распределения погрешности измерения 
W

. 
Распределение погрешности измерения при этом предполагается извест-
ным. При необходимости его можно проверить на этапе метрологической 
аттестации и поверке средств измерений. 
Проверив ряд предположений о форме распределения, и выбрав наи-
более соответствующие данным измерений, можно оценить достоверность 
результатов контроля и скорректировать контрольные допуски. По мере 
накопления данных эти параметры могут уточняться. 
Следующим этапом адаптивной процедуры контроля является обна-
ружение изменений параметров распределений контролируемых показате-
лей или изменений формы этих распределений. Задача решается следую-
щим образом.

---

116 
В некоторых скользящих интервалах оцениваются значения пара-
метров распределения и проверяется их согласие с результатами для пре-
дыдущих интервалов (в данном случае интервалов индексов результатов 
измерений). По результатам этих проверок принимается решение о воз-
можности использования прежних моделей распределения и значений их 
параметров или перехода к новым моделям или новым значениям. Объем 
скользящей выборки для оценки распределений должен быть больше объ-
ема выборки для оценки параметра, т.е. отслеживание параметров может 
проводиться более быстро, чем отслеживание формы распределения. 
Практическое использование адаптивных систем обработки измери-
тельной информации требует решения дополнительных вопросов. К ним от-
носятся оценка достоверности результатов обработки, анализ устойчивости 
алгоритмов обработки, обоснование оптимальных объемов выборок и т.д.