Так как коалиция D является /-решающий для кандидата а против кандидата b, то п h.
Если с b, то коалиция fi является /-решающей для кандидата с против кандидата Ь. Но в А меньше избирателей, чем в D, которая по определению минимальна. Следовательно, с не может быть не хуже, чем Ь. Тогда, в силу аксиомы полноты, b лучше, чем с.
Теперь мы имеем, что о b и b с. Тогда по аксиоме транзи—
ТИВНОСТИ О С. A ЭТО ОЭННЧRСТ, ЧТО d ЯВЛЯЕТСЯ J-]ЭСШНЮЩСЙ ДЛЯ
Kf1HДИДАTf1 О П]ЭОТИВ КRНДИДЬТА С, ЧТО ТАКОЙ П]ЭOTИBO]ЭeЧИT МИНИ-
мальности коалиции D. Мы пришли к противоречию и тем самым,
ЛCMMИ ДОКНЭ OHR.
Лемма 2. Коалиция D —— Jd , существование которое доказано в лемме 1, является f -решающеи.
,Доказательство. Пусть с — произвольный кандидат. Рассмот- рим профиль голосования:
зт
Группа избирателей
|
(d}
|
N \ D
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Избиратель d считает, что п h и b с, а все остальные считают, что b с и с а. Так как d является /-решающий для канди- дата а против кандидата h, то о h. И мы имеем, что для всех
избирателей b s с по аксиоме единогласия. Следовательно, по
аксиоме транзитивности а с и этот результат не зависит от b по аксиоме независимости. Следовательно, (d является /-решающей для кандидата а против кандидата с, то есть d — /(а, с). При этом с — некоторый произвольный кандидат.
Проведя аналогичные рассуждения для произвольного кандида- та е в профиле голосования
Группа избирателей
|
d
|
N \ D
|
|
|
|
|
|
|
|
о
|
е
|
|
|
|
|
|
|
мы видим, что е с, и получаем, что d —— /(е, с) для произвольных кандидатов е и с. Это означает, что (d$ является /-решающей.
зs
Лемма 3. Избирателъ d может навязъtватъ свое мнение no поводу любъtш двух кандидатов а и b при условии, нто мнение всех осшалъныт избирателеи противоположно.
В формулировке леммы 3 пока проявляется зависимость мне- ния диктатора от мнения других его мнение не такое, как у всех
,Доказательство. Докажем, что как бы ни голосовали осталь— ные избиратели, коллективное мнение будет совпадать с мнением
Kf1HДИДАTf1 d. f1ССМОТ]ЭИМ ТАКИЕ П]ЭО ИЛИ ГОЛОСОВАНИЯ, В КОТО]ЭЫХ
d
у избиратели порядок вида:
d d d d
п с
d
h ... все
остальные избиратели полагают с аи с h, а в остальном их расположение кандидатов произвольно.
Так как [d является /—решающей, то о с. Для всех избирате—
лей с b, следовательно, в силу аксиомы единогласия с Ь. Тогда
d
по аксиоме транзитивности получаем, QчТО h. ИСключая ИЭ СО-
отношений кандидата с (по аксиоме независимости), получаем, что, если избиратель d считает, что кандидат а лучше, чем кандидат h,
то кандидату п будет оказано коллективное предпочтение а S h.
d
То есть, из о
3
h следует о
Ь. Это означает, что порядок пред-
почтений у избиратели d и коллективное предпочтение совпадают.
Лемма 3 показывает, что единственный кандидат может дик- товать свои предпочтения коллективу избирателей. То есть этот кандидат является ,qиктатором. Таким образом, получаем неожи- данный результат: при всей разумности выдвигаемых требований к процедурам голосования, имеется только одна процедура, удовле- творяющая всем пяти аксиомам это правило диктатора. Незави— симо от предпочтения других избирателей, она устанавливает тот коллективный порядок, который определяется первым избирателем
(вместо первого может быть второй или третий, это не имеет значе-
НИЯЈ . ИКТАТО]Э ЭТО ЛИЧНОСТЬ, обладающая BЛFІCTЬЮ НЬВЯЭЫВНТЬ
обществу свое строгое предпочтение для произвольной пары аль-
тернатив. Роль диктатора мoжeт выполнять, например, партия или
]ЭСЛИГИЯ, Г]ЭОЭR большой ВОЙНЫ, НВТО]ЭИТСТ ВЛИЯТСЛЬНОГО МСНЬШИН-
ства и проч. Получается, что для решения «тупиков демократии» требуется внешнее давление на общество, которое лишает избирате- леії Xoтя бЫ ЧаСТИ Из CBo6oды.
Теорема о невозмотности
К. Эрроу, будучи искренним приверженцем демократии и гражда—
НИНОМ США, HC МОГ ДОВЛСТВО]ЭИТЬСЯ TRKИM ]ЭСЭ ЛЬTRTOM. OH ДОПОЛ-
нил систему аксиом еще одной.
ІІІестая аксиома Арроу. Отсутствие диктатуры. Теперь в
совокупности yжe шесть аксиом являются противоречивыми. Ше—
СТОЯ RKCИOM R ИСКЛЮЧ ЕСТ С ЩССТВОВ ВHИC CДИHCTBeHHOЙ П]ЭОЦСД ]ЭЫ ,
которая удовлетворяет первым пяти. Окончательный вывод Эрой сформулировал в виде теоремы.
Теорема о невозмотности. Не существует правила, обаеди- няющего индивидуалънъіе предпочтения в коллективное, которое удовлетворяет всем вести аксиомам Gppoy.
Do'stlaringiz bilan baham: |
