О д. Кичмаренко А. П. Огуленко

d получает	-d	4 3- +	16	2
6 1 50 очков

Таким образом, победителем по Борда является кандидат d. Победителем же по Кондорсе является кандидат h, который побеждает кандидата а со счетом 17:11, кандидата с со счетом 16:12, кандидата d со счетом 15:13.

В XIX веке шел процесс эмпирического поиска новых процедур голосования, которые не привели к появлению «абсолютно прием- лемой» процедуры голосования. В конце XIX века благодаря ра- ботаю итальянского математика В. Парето была понята естествен- ность возникновения многокритериальной ситуации при оценке ка—

ЧССТВА П]ЭОЦСД ]Э ГОЛОCOBННИЯ . НССМОТ]ЭИМ НСКОТО]ЭЫС ИЗ ЭТИХ НОВЫХ

П]ЭOЦeД ]Э ГОЛОСОВАНИЯ И ЬКСИОМ.

5. Обобщения процедур Кондорсе и Борда

Естественным обобщением процедуры Борда является

Данная процедура достаточно широко используется на практи- ке. Покажем, что результаты голосовании существенно зависят от выбора чисел s;. Так, по результатам предпочтений из примера 2

по процедуре Борда (т.е. ^s_{o =} 0, s_{1 =} 1, ^S₂ 2, ^s_{з —} 3) побеждает кандидат d; при ^s_{o =} 0, S 1, ^S_2- 2, ^s_{з =} 4 побеждает кандидат b; при _{о =} 0 si = 0, ^S₂ = 1, ^s_{з =} 4 побеждает кандидат о.
Если ^s_{0 =} s _{= -} = S _—2 0, s _{— =} 1, то данная процеду—
]ЭН COBПHДRCT С П]ЭОЦСД ]ЭОЙ ГОЛОСОВАНИЯ ПО МСТОД ОТНОСИТСЛЬНОГО
большинства.
Приведем два наиболее естественные обобщения процедуры Кон- дорсе.

Правило Копленда
Сравнил кандидата а с любым другим кандидатом т. Начислим ему N(a т) = 31, если для большинства а т, К(о т) —
—1, если для большинства т о и К(о т) = 0 при равенстве в оценке кандидатов. Оценкой Копленда для кандидата п назовем сумму ^К(_{=) = Z *— т). Избирается кандидат с наивысшей оценкой Копленда.}

Победитель по Кондорсе получает наивысшую оценку Копленда ш — 1, а тaкиe оценку Симпсона выше 2

С середины XX века возник новый всплеск интереса к пробле- мам голосования. В 1973 году американский математик П. Фишберн поставил точку в решении вопроса о различии процедуры Борда и процедуры Кондорсе.
Теорема Фишберна. Существуют профили голосования такие, что победитель по Кондорсе не может быть избран ни при каком методе подсчета очков.
,Доказательство. Рассмотрим профиль голосования в четырех
Г]Э ППHX'

Оякп	I	II	III	IV
		6	4	4

Напишем кoличeCтBo 6aлoB, кото]Эые набејэСТ КНШдый из KaндидaтoB:

Кандидат а получает Yq = 6 ^s_{2 +} 7 ^s_{l +} 4 ^s_o Кандидат h получает У = 8 _{2 +} 6 si + 3 ^s_o КАНДИДАТ С ПОЛ Н Т _{с '} ^S_{2 +} 4 ^s_{i +} 10 ^s_o

²s2 — s1 — ^s₀ 0, ^{так как s}_o *1 S 1 ^S₂ ^S_O >2 › ^ТО CCTЬ

(>о + ^si) -
²32
Таким образом, получаем, что h а при любом

наборе ^so_-. _{и ,} ^s_{2 С}ледовательно, процедуры Кондорсе и Борда прин-
ципиально различны.

4. Парадоксы голосования и причины их воз- никновения.

Анализ рассмотренных примеров уже показал, что абсолютно демо- кратическим способом можно выбрать такого победителя, который по мнению абсолютного большинства избирателей является наихуд- шим. Почему возникает такой парадокс? Ведь никаких нарушений демократичных процедур голосования не было, решение принима- лось исключительно на основе мнения избирателей! Оказывается, далеко не всегда процедура голосования обладает свойствами, кото- рые соответствуют интуитивному пониманию понятия справедливо- го или правильного социального выбора. Рассмотрим некоторые из этих свойств подробнее.

Монотонность.
Предположим, что кандидат а выбирается (среди победителей) при данном профиль голосования и профиль изменится толь- ко так, что положение кандидата п улучшается, а относитель- ное сравнение пары любых других кандидатов для избирателя остается неизменным. Тогда кандидат о для нового профиля по- прежнему должен быть выбран (вновь среди победителей).

Требованию монотонности не удовлетворяет, например, прави— ло относительного большинства с выбыванием, которое широко ис- пользуется при выборах в Окраине.

Пример 4. В четырех избирательных группах с количеством избирателей соответственно 6, 5, 4 и 2 определяется победи- тель из трех кандидатов а, b, с. Мнения избирателей представ- лены в профиле А:

Профиль А
I	II	III	IV
б	5	4	2
b
С

TO П]ЭНВИЛ OTHOCИTeЛЬHOГO ОЛЬШИНСТВ b ВО ВТО]ЭОЙ Т ]Э П]ЭОХО-
дят а и b и побеждает о (11 голосов против 6). Предположим, что профиль А — это данные социологического oпpoca. И было решено провести активную агитацию в наименьшей из изби- рательных групп. Получили новый профиль голосования:

пр°'ј° ^° *
I	II	III	IV
б	5	4	2
С			С

В этом профиле кандидат а улучшит свои позиции в четвертой избирательной группе вышел на первое место. Определим победителя по профилю Б. Кандидат а теперь уверенно выиг- рывает в 1-ом туре и ... проигрывает во 2-ом туре кандидату с, т.е. улучшение позиции кандидата а привело к его пораже- нию. Как me так? В профиль Б произошло только улучшение положения кандидата! Возникает вопрос: на чьи деньги про- водили агитацию в четвертой избирательной гpyппe?

Таким образом, по правилу относительного большинства с вы- быванием может быть выгодно специально проиграть выборы на некотором участке, чтобы вывести во второй тур соперника, у ко- торого мoжнo выиграть заключительный тур выборов. В истории известны такие случаи.

Анонимность.
Имена избирателей не имеют значения: если два избиратели по- меняются голосами, то результаты выборов не изменятся.

Это условие требует, чтобы мнения всех избирателей были рав— ноценными для процедуры голосования. Такое требование реализу- ется принципом равноправия избирателей. Однако, существуют про- цедуры голосования, сознательно придающие мнению одного или части избирателей больший вес (например, председатель правления или члены правления имеют два голоса). Или, например, упорядоче- ние судейских голосов, которое активно используется спортивными отделами газет для определения мест, занятых спортивными коман- дами и передачи информации комментаторами по телефону. Приме— ром такой процедуры является также право вето, которым обладают постоянные члены Совета Безопасности ООН. Может оказаться, что внешне равноправная процедура на самом деле такой не является.

Нейтральность.
Имена кандидатов не имеют значения. Если мы поменяем ме— стами кандидатов а и b в предпочтении каждого избирателя, то исход голосования изменится соответственно (если раньше вы- бирался а, то теперь будет выбираться b и наоборот; если вы- бирался некоторый кандидат т, отличный от а и b, то он me и




Это свойство также реализуется принципом равноправия кан- дидатов. Но существуют процедуры, сознательно нарушающие это требование. Например, на голосование ставится поправка к неко—
ТО]ЭОМ С ЩССТВ ЮЩСМ ПОЛОШСНИЮ $ЭНКОНОП]ЭОСКТ , ОНСТИТ ЦИИ) .

При этом часто требуется для внесения поправки получить больше, 2

ННП]ЭИМС , ГОЛОСОВ избирателей, т.е. пoпPaBкa и cУщecтBУющee по-
ложение находятся в неравноправном положении. Иногда неравно- правие возникает неявно. Правило Копленда и Симпсона анонимны и нейтральны, если мы рассматриваем их как отображения, ставя-
ЩИС В СООТВСТСТВИС КЬШДОМ П]ЭО ИЛЮ П]ЭСДПОЧТСНИЙ ПОДМНОШССТВО
победителей. Правило Борда также анонимно и нейтрально. Это же справедливо для для правила голосования с подсчетом очков, если
BCC ОЧКИ ]ЭНЭНЫС. Если BBСCTИ НСКОТО]ЭОС П]ЭАВИЛО П]ЭИ ]ЭRBCHCTBC ОЧ-
ков, выделяющее единственного победителя, то либо анонимность, либо нейтральность нарушатся. Это очевидно следует из рассмот- рения примера 0.
]ЭИМtЭ]Э Й ]ЭСДПОЛОШИМ, ЧТО HE НСКОТО]ЭОМ ЗАСЕДАНИИ ПО П]ЭН-
вилу голосования с последовательным исключением произво- дится отбор альтернативного законопроекта а, b, с, d (техниче- ского проекта, нового образца для производства и т.п.). Мне- ния участников заседания приведены в следующей таблице:

I	II	III	IV
	2
d		d	b
	b		С
	С		d
	d		а

Председатель заседания ставит на голосование проекты в по- следовательности о —› h —› с —› d. При первом голосовании во второй тур выходит а, при втором голосовании а с и на третий тур выходит опять о. На заключительном туре d а и, следовательно, побеждает d. Легко проверить, что при по- следовательном сравнении а —› 6 —› d —› с побеждает с, при b d а с побеждает а и при а —› d b с побеждает Ь. Таким образом, используя то, что голосование с последо— вательным исключением не является нейтральным, председа- тель заседания может в рассматриваемом случае за счет выбо- ра соответствующей последовательности сравнения добиться любого результата голосования.

Оптимальность по Парето.
Если кандидат а для всех лучше кандидата b, то кандидат b не может быть победителем.

Пример 6. Рассмотрим следующую таблицу:

I	II	III
i	i	i
b	а	С
а	d	b
d	с	а
с	b	d

TO П]Э НВИЛ ГОЛОCOBННИЯ С ПОСЛСДОВНТСЛЬНЫМ ИCKЛЮЧСHИСM П]ЭИ

использовании последовательности о b с d имеем о h, далее второй тур с b, в третьем туре d с. Сле- довательно, побеждает d. В то me время кандидат а для всех избирателей лучше кандидата d.
Из примера 6 видно, что правило голосования с последователь- ным выбыванием (олимпийская система) не является оптимальным по Парето. Правило Копленда и Симпсона оптимальны по Парето, Правило Борда тaкиe оптимально по Парето. Это me справедли—
ВО ДЛЯ П]ЭНВИЛН ГОЛОСОВАНИЯ С ПОДСЧСТОМ ОЧКОВ, ССЛИ ОЧКИ ]ЭЬЭНЫС:

Пример 7. Четыре кандидата а, b, с, d борются за звание по- бедителя. Избиратели сгруппированы в 4 группы и имеют сле- дующие предпочтения:

I	II	III	IV
			4
		d
d	d		С
С	b	С
	с		d

По предварительным данным, победитель по Симпсону — о. Победителя по Кондорсе нет.
Четыре студента, обсуждал избирательную кампанию в пив— баре, пришли к общему мнению по поводу кандидатов — с
о 6 d — и решили принять участие в выборах. С их при- ходом профиль голосования меняется:

I	II	III	IV
			4
		d
d	d		С
С		С		b
	С		d	d

Теперь победитель по Симпсону — Ь. Пришедшие избиратели считали, что о b, то есть они поддержали кандидата о, но
в результате такой поддержки кандидат а проиграл выборы. («парадокс неучастия» - лучше бы эти студенты остались до- пивать пиво и не участвовали в выборах).

Таким образом, мoжнo сформулировать еще одно требование к

П]ЭOЦeД ]ЭRM ГОЛОСОВАНИЯ В BИДС RКСИОМЫ.



Аксиома участия.
Пусть кандидат а является победителем для избирателей из мно- жества N. Рассмотрим некоторого избиратели т ф N и опреде- лим победителя при объединенном множестве избирателей N С х. Тогда дoлжeн быть избран либо кандидат а, либо кандидат, ко— торый для избиратели т строго лучше, чем о.

К сожалению нельзя указать лучшую для всех случаев проце- дуру голосования. Из приведенных примеров видно, что прежде,

ЧСM KHKOC-TO ИЗ П]ЭНВИЛ ГОЛОСОВАНИЯ П]ЭИНИМНТЬ KHK П]ЭОЦСД ]Э , объ-
единяющую мнения отдельных избирателей в коллективное мнение, нужно глубоко проанализировать эту процедуру, оценить все «за» и
«против», и только потом законодательно утверждать такой выбор. Выбор процедуры голосования для каждой конкретной ситуации но-
СИТ П]ЭИНЦИПИНЛЬНЫЙ XЬ]ЭЬKTe]Э .

4. 
   Аксиоматика Эрроу. Теорема о невозмож-
   

ности

В 1951 году американский математик и экономист Кеннет Эрроу опубликовал результаты диссертационного исследования в книге «Со— циальный выбор и индивидуальные ценности» («Social Choise and individual Values», К. Arrow). Основной результат его исследований

В ДАЛЬHCЙШCM ПОЛ ЧИЛ ННЭВННИС ‹ ТСО]ЭСМЫ О НСВОЭМОШНОСТИ›/. . ]Э-

poy поставил перед собой простую и одновременно претенциозную цель: решить проблему рационального согласования индивидуаль- ных интересов, то есть найти некое правило, способ выбора одного
ИЗ МНОГИХ НЛЬТС]ЭНRТИВНЫХ ]ЭСШСНИЙ П]ЭОЦСД ]Э ВЫЯВЛСНИЯ ВОЛИ
народа да и вообще, любого сообщества, будь то совет директоров какой-нибудь фирмы, суд присяжных или общее собрание гаражно- строительного кооператива. Он обратился к исследованию давно известной человечеству процедуры — принятию решений большин- ством голосов. В числе достоинств этой процедуры простота, рав- ноправие и весомость, обусловленная традицией.
К. Эрроу сформулировал аксиомы, которым дoлжнa удовлетво- рять любая процедура комбинирования или объединения индивиду- альных предпочтений, чтобы образовать коллективное суждение. То есть, он впервые провел аксиоматическое исследование рациональ— ных процедур голосования и использовал этот подход для констру- ирования процедур голосования. Это направление исследования пе- реросло в сравнительный анализ процедур голосования, то есть в выяснение того, в какой мере та или иная процедура удовлетворяет некоторому набору условий и критериев.
Вообще говоря, существует бесконечное множество рациональ- ных процедур голосования, и анализ каждой из них по отдельности
— задача невыполнимая. Однако процедуры объединения индиви— дуальных предпочтений в коллективный выбор общества закрепля- ются законодательно на уровне Конституции государства. Поэтому требования (аксиомы) были сформулированы Эрроу по отношению к Конституqиям. Рассмотрим их более детально.

1. 
   АксиОмы Э]Э]ЭoУ
   

Первая аксиома Арроу. Универсальность.
Она требует, чтобы Конституция отражала каждую возможную

зз

КОН ИГ }ЭНЦИЮ П]ЭСДПОЧТСНИЙ ГОЛОС ЮЩИХ. бщество HCДОЛЖНО П]ЭИ-

нимать Конституцию, которая может оказаться несостоятельной хо- тя бы в некоторых структурах предпочтений голосующих. Следо- вательно, Конституция дoлжнa быть общей, чтобы разрешить все возможные споры.
Вторая аксиома Арроу. Единогласие.
Она управляет действием Конституции, когда нет согласия меж- ду избирателями. Для конфигурации предпочтений, при которой каждый индивидуум считает, что а b, коллективное предпочте— ние должно быть таким же.
Третъя аксиома Арроу. Независимость.
Коллективное предпочтения любой пары альтернатив зависит только от предпочтений голосующих, касающихся этих альтерна- тив. Как бы не менялись индивидуальные предпочтения других аль- тернатив, если каждое из индивидуальных предпочтений альтерна— тив п и b остается неизменным, то и коллективное предпочтения альтернатив о и h не меняется.
Введем обозначения:

отношение индивидуального предпочтения: о b означает,

что альтернатива а предпочтительнее альтернативы b;

— отношение слабого коллективного предпочтенQ ия: b озна-

чает, что альтернатива о не хуже альтернативы h в смысле коллективного предпочтения;
отношение сильного коллективного предпочтения: а b
ОЭНRЧНСТ, ЧТО HЛЬTe]ЭHHTИBH О П]ЭСДПОЧТИТСЛЬНСС НЛЬТС]ЭННТИВЫ
h в смысле коллективного предпочтения.

Четвертая аксиома Арроу. Полнота.

Для каждой пары альтернатив п и b должно выполняться или
о h, или b о, или и первое и второе одновременно (в этом случае
альтернативы а и b неразличимы в смысле коллективного предпо- чтения).
Пятая аксиома Арроу. Транзитивность.
Слабое коллективное предпочтение должно быть транзитивно,