O ’zbekiston Respublikasi Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi Samarqand davlat universiteti

Silindr va uning xossalari
1. Silindr asoslari teng, chunki parallel ko'chirish – harakat.
2. Silindrda asoslar parallel tekisliklarda yotadi, chunki parallel ko'chirishda tekislik parallel tekislikka o'tadi.
3. Silindrda yasovchilar parallel va teng, chunki parallel ko'chirishda nuqtalar parallel to'g'ri chiziqlar bo'ylab bir xil masofaga siljiydi.
Shar
Shar deb berilgan nuqtadan berilgandan katta bo'lmagan masofada joylashgan fazoning barcha nuqtalaridan iborat jismga aytiladi. Bu nuqta shar markazi, berilgan masofa esa shar radiusi deb ataladi.
Shar chegarasi shar sirti yoki sfera deb ataladi. Shunday qilib, sferaning nuqtalari markazdan radiusga teng masofadan uzoqlashgan sharning barcha nuqtalaridan iborat. Shar markazini shar sirti nuqtasi bilan tutashtiruvchi ixtiyoriy kesma radius deb ataladi.
Shar sirti ikki nuqtasini tutashtiruvchi va shar markazidan o'tuvchi kesma diametr deb ataladi.
Shar bilan tekislikning kesimi
1-teorema. Shar bilan tekislikning har qanday kesimi doiradan iborat. Bu doiraning markazi shar markazidan kesuvchi tekislikka tushirilgan perpendikul­yarning asosidan iborat.
Isbot. Q - kesuvchi tekislik va O - shar markazi bo'lsin. Shar markazidan Q tekislikka perpendikulyar tushiramiz va uni O` bilan belgilaymiz, u bu perpendikulyar asosi bo'ladi. X - Q tekislikka tegishli sharning ixtiyoriy nuqtasi bo'lsin. Pifagor teoremasiga ko'ra

R shar radiusidan katta bo'lmagan uchun

ya`ni Q tekislik bilan sharning kesimining ixtiyoriy nuqtasi O` nuqtadan

katta bo'lmagan masofada joylashadi, demak, O` markazi va

radiusli doiraga tegishli bo'ladi. Aksincha: bu doiraning ixtiyoriy X nuqtasi sharga tegishli bo'ladi. Demak, sharning Q tekislik bilan kesimi markazi O` nuqtada bo'lgan doiradan iborat. Teorema isbotlandi.
Shar simmetriyasi
2-teorema. Sharning ixtiyoriy diametral tekisligi uning tekisligi hisoblanadi. Sharning markazi uning simmetriya markazidan iborat.
Isbot . α - diametral tekislik va X - sharning ixtiyoriy nuqtasi bo'lsin. XX` kesmaga nisbatan X nuqtaga simmetrik va u bilan uning o'rtasida kesishadigan X` nuqtani yasaymiz. OAX va OAX` to'g'ri burchakli uchburchaklar tengligidan OX` = OX kelib chiqadi. OX ≤ R bo'lgani uchun, u holda OX` ≤ R bo'ladi, ya`ni X nuqtaga simmetrik nuqta, sharga tegishli bo'ladi. Teoremaning birinchi tasdig'i isbot bo'ldi. X`` - X nuqtaga shar markaziga nisbatan simetrik nuqta bo'lsin. U holda. OX`` = OX ≤ R, ya`ni X`` nuqta sharga tegishli bo'ladi. Teorema to'la isbotlandi.
Sharga urinma tekislik
Shar sirtining A nuqtasidan o'tuvchi va va A nuqtadan o'tkazilgan rapdiusga perpendikulyar tekislik urinma tekislik deb ataladi. A nuqta urinishi nuqtasi deb ataladi.
3-teorema. Urinma tekislik shar bilan faqat bitta umumiy nuqtaga – urinish nuqtasiga ega.

Isbot. α - sharga urinma tekislik va A - urinish nuqtasi bo'lsin. q tekislikning A nuqtadan farqli ixtiyoriy A nuqtasini olamiz. OA - perpendikulyar, OX - og'ma bo'lganligi uchun, u holda OX > OA = R o'rinli bo'ladi. Demak, X nuqta sharga tegishli emas. Teorema isbotlandi.