Обобщенный линейный дискретный регулятор

где β определяется выражением . Разрешая относительно u_D(kh), получим

Так как 0 < Р < 1, система всегда устойчива. Таким образом, для ПИД-регулятора имеем

Исключая знаменатель, получим

где e(kh)=u_c(kh)-y(kh).

Простая перестановка членов приводит к

(16.12)

где

Полиномы R, S и Т вычисляются следующим образом

(16.13)
Подставляя q, получим

Применив операцию сдвига на два интервала выборки назад, выражение для ПИД-регулятора можно переписать в следующем виде

(16.14)

Таким образом, регулятор должен помнить управляющие сигналы, опорные и из­меренные значения, соответствующие двум предыдущим выборкам.

ПИ-регулятор

(16.15)

получается, если положить Т_и = 0.

Если дифференциальная часть вычислена по ошибке управления, то полином R не меняется, а полином T становится идентичным полиному S. От­носительно уравнения (16.15) можно отметить, что различные варианты ПИД-ре­гулятора добавляют больше или меньше нулей в передаточную функцию контура упреждения, что влияет на поведение всей замкнутой системы.

Связь между параметрами полиномов R, S и T и собственно параметрами ПИД-регулятора является достаточно сложной. Параметры этих полиномов не име­ют явного физического смысла, но оператор и не должен их знать. Настройка управ­ления выполняется с помощью параметров ПИД-регулятора, которые преобразуются программой в параметры полиномов R, S и T в соответствии с уравнением (16.16).

Компенсация временных запаздываний

Экстраполятор Смита можно рассматривать как частный случай обобщенного дискретного регулятора. Его управляющий сигнал зависит не только от текущих измерений и опорного значения, но также и от изменений управляющего сиг­нала в течение времени, соответствующего запаздыванию в регулируемом процессе.

Из выражения (16.4) ясно, что полином R должен иметь достаточный порядок, чтобы учесть временной сдвиг, равный по крайней мере времени запаздывания T_delay . Другими словами, время, эквивалентное n_R интервалам выборки (n_R — степень поли­нома R), должно быть больше, чем время запаздывания процесса T_delay . Дискретные значения измеряемой величины и дискретные значения управляющего сигнала должны быть доступны по крайней мере в течение интервала T_delay.

Обычно в промышленных приложениях интервал выборки устанавливается так, чтобы время запаздывания T_delay превосходило его не более чем в пять раз, т. е. сте­пень полинома R меньше или равна пяти.

Влияние запаздывания, связанного с выполнением вычислений, у дискретного регулятора такое же, как и у ПИД-регулятора. Это запаздывание дол­жно быть значительно меньше интервала выборки.