Общая характеристика работы Актуальность работы

Задача оптимизации состоит в определении такой формы области , которая максимизирует эффективную крутильную жесткость (47) стержня при заданных внешних воздействиях , точках раздела границ и ограничениях:
а) площадь поперечного сечения стержня не должна превосходить заданной величины


; (48)


б) погонный угол закрутки и удовлетворяют следующему неравенству: , где – характерный линейный размер стержня, – некоторая заданная величина.
Пространство функций откликов включает переменные упругой и тепловой задач: функцию напряжений , производные от неё , температуру , градиенты температуры , температурные потоки .
Для получения выражения применяется та же идея анализа соотношений чувствительности с использованием слабой формулировки задач теплопроводности и задачи определения функции напряжений , которая изложена в описании второй главы. В результате получено


(49)

Здесь сопряженные переменные , , должны удовлетворять следующей краевой задаче:

, (50)
на , на

В отдельных частных случаях выражение (49) может быть упрощено. Если, например, , точки неподвижны и температура границы не изменяется при трансформации области по направлению нормали, то второе и четвертое слагаемые в (49) исчезают

Отсюда получаем новый критерий (необходимое условие) оптимальности

, (51)

который совпадает с известным лишь в случае, когда температурное поле отсутствует или является постоянным.

Ниже приведены результаты оптимизации формы внешней границы стержня, подверженного действию температурной нагрузки, с заданной площадью поперечного сечения. Рассматривались стержни симметричного по обеим осям поперечного сечения, как односвязные, так и двусвязные.
Все вычисления проводились МГЭ, процесс оптимизации осуществлялся методом проекции градиента. Достоверность результатов была проверена сравнением оптимального решения для стержня с прямоугольным отверстием в отсутствии температурного нагружения, полученного по данному алгоритму, с аналитическими результатами Н.В. Баничука и решением с использованием метода конечных элементов K. Dems. Все три результата практически не отличаются.