Общая характеристика работы Актуальность работы

Задача 2 – оптимизация формы внутренней границы прямоугольного тоннеля, на перекрытие которого могут действовать различные нагрузки, а внутренняя граница полости свободна от нагрузок. Кроме этого, на внешней и внутренней границе могут быть заданы температура и (или) поток тепла. Нижний край конструкции закреплен к грунту. Требуется минимизировать величину максимального касательного напряжения за счет изменения формы полости при условии, что площадь поперечного сечения конструкции не превосходит заданной величины.
На основе изложенного выше подхода для этой задачи получено следующее новое выражение для производной функции цели:


, (53)

где – локальная система координат, заданное число и

.

Существенно отличается форма границы тоннеля, которая представлена на рис. 17б, для условий нагружения б), когда отсутствует механическая нагрузка. Выигрыш в этом случае несколько меньше – 58,3%.

В случае комбинированного термомеханического нагружения в) оптимальная форма отличается и от чисто упругой задачи а), и от температурной задачи б). Она приобретает черты средней конфигурации между этими двумя оптимальными границами. Максимальные касательные напряжения уменьшились в этом случае на 57% по сравнению с прямоугольной формой.
Отметим, что выигрыш и оптимальная форма сильно зависят как от распределения температурного поля в теле конструкции, так и от соотношений интенсивностей тепловых и механических нагрузок.
Задача 3 – оптимизация формы внешней границы прямоугольной пластины с отверстием, находящейся в плоском напряженном состоянии и растягиваемой нагрузкой, приложенной внутри отверстия, по тому же критерию, что и в задаче 2, с ограничением на площадь, занимаемую пластиной.
Край AB пластины закреплен, остальные границы – свободны от нагрузки. По контуру отверстия EF действует растягивающая сила в направлении оси ОХ, продольная составляющая которой изменяется по закону .
Приведем результаты оптимизации формы для двух видов термомеханического нагружения:
а) чисто упругая задача – действует только механическая нагрузка;
б) комбинированное термомеханическое нагружение – внутри отверстия задан поток тепла , на внешнем контуре .
Необходимое условие оптимальности в этой задаче то же, что и в задаче 2.
Уменьшение по сравнению с исходной формой пластины в этом случае составляет 19,4%. Эти результаты хорошо согласуются с результатами, полученными другими авторами методом конечных элементов. Для комбинированного нагружения оптимальная форма границы отличается от предыдущей (рис. 20). Полученное снижение максимальной величины касательных напряжений составляет уже 28%.
Таким образом, во всех трех задачах отмечается существенная разница оптимальных проектов, получаемых в отсутствии нагрева и при наличии температурного поля.
В заключении содержатся результаты, полученные в диссертационной работе.
Построена принципиально новая теория, основанная на методе сопряженных переменных, которая позволяет для функционалов общего вида получать необходимые условия оптимальности в задачах управления формой внутренних и внешних границ термоупругих областей, учитывающая одновременное изменение в процессе оптимизации как температурных, так и механических полей.
Эта теория основана на слабой формулировке задачи термоупругости, в которой уравнения равновесия и теплопроводности учитываются не в дифференциальной форме, а в виде вариационных уравнений, что позволяет получать значения производных для функционалов цели и ограничений в более широких функциональных пространствах, и упрощает построение численных алгоритмов.
Использование для анализа чувствительности метода граничных уравнений, в котором требуется только знание поля скоростей на границе изменяющейся области, позволяет точнее определять граничные значения производных, необходимых при анализе чувствительности.
Показано, что при учете изменяемости температурного поля в процессе оптимизации границ тел, даже если за исходную модель взята модель несвязной термоупругости, то есть решается задача о температурных напряжениях, при анализе чувствительности механические и температурные поля неизбежно становятся связанными через сопряженную задачу. Этот факт связан с перераспределением энтропии в системе, которая изменяется за счет трансформирования формы тела.
Полученные на основе построенной математической модели новые критерии оптимальности отличаются от известных критериев, таких как равнонапряженность конструкции или постоянство потока тепла на границе области. Они совпадают с ними лишь в частных случаях отсутствия нагружения или определенного типа распределения поля температур.
Предложено доказательство существования решения для задачи оптимального распределения слоя изоляции по границе области и задачи оптимального размещения точек разрыва граничных условий, которые позволяют определить класс гладкости допустимых областей при оптимизации.
Разработанные алгоритмы и комплекс программ для решения задач оптимизации формы тел, подверженных одновременному воздействию как механических, так и температурных нагрузок с ограничениями, наложенными на механические и температурные поля, показали высокую эффективность для различных классов статических задач теплопроводности, упругости и термоупругости.
Получены оптимальные проекты для ряда задач. Среди них: задача оптимального размещения термоизоляции по границе плоской области, задача оптимизации формы теплообменника, задачи минимизации концентрации напряжений и увеличения жесткости конструкции, задачи оптимизации формы поперечного сечения стержней максимальной жесткости при различных комбинациях тепловых полей.
Во всех перечисленных задачах отмечается существенная разница оптимальных проектов, получаемых с учетом и без учета влияния температурного поля. Эта разница обусловлена эффектом взаимодействия температурных и механических полей при изменении формы тела.