Олий математика сизга та=дим этилаётган мазкур маъруза матнларида «Олий математика»

б) d(U(x) V(x))=V(x)dU(x)+U(x)dV(x);
в) d(U(x)/V(x))=(V(x)dU(x)-U(x)dV(x))/V²(x) (V(x)0) былади.

3. 
   Ю=ори тартибли щосила ва дифференциаллар.
   

Биз элементар функцияларни щосилаларини щисоблаганда кырдикки, функция щосиласи яна х ызгарувчига бо`ли= функция былиши мумкин экан. Масалан: y=sinx , y¹=cosx, y=x , y¹=1/(2x)
Демак, функция щосиласидан яна х ызгарувчи быйича щосила олиш масаласини =араш мумкин экан.
Таъриф. Функция щосиласини щосиласи шу функцияни иккинчи тартибли щосиласи дейилади ва у^’’ ёки f^’’(x) каби белгиланади: y^’’=(y^’)^’=(f^’(x)¹=f¹¹(x) . Умуман функцияни n-чи тартибли щосиласи (n-1)-чи тартибли щосиласини щосиласидир: y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))¹.

4. 
   Функция дифференциалининг тадби=лари.
   

Функция дифференциалидан амалий масалаларни ечишда кып =ылланилади. Наъмуна сифатида масалалар келтирамиз.
1-масала. Сигирни ёши х (йил) билан унинг суткалик берадиган сут ми=дори у (литр) ызаро у=-9,58+6,86х-0,49х² ишлаб чи=ариш функцияси билан богланган. Агар сигирни ёши 3 ёшдан 5 ёшгача ызгарса, ундан олинадиган суткалик сут ми=дорини ызгариши ани=лансин.
Ечиш. Масала шартига кыра х₀=3; х₁=5; х=х₁-х₀=5-3=2; f¹(x)=6,86-0,98x; f¹(x₀)=f¹(3)=6,86-0,98 3=6,86-2,94=3,92. У щолда суткалик сут ми=дорини ызгариши dy=f¹(x₀) x=3,92 2=7,84 литр.
2 -масала. Гыштга бо=илаётган =орамол вазнинг ысиши ва=тга (кунга) бо`ли= былиб ушбу у=f(t)=5t, t>49 ишлаб чи=ариш функцияси билан берилган. 64-чи кундан бошлаб 10 кун бо=илганда =орамол вазнини =анчага ортганлиги топилсин.
Е чиш. +орамол вазнининг орттирмаси у ни унинг дифференциали билан алмаштирамиз: у=dy=y¹(t₀) t.
Б изнинг мисол учун t₀=64; t=74-64=10; y¹(t)=5/2t. У щолда dy=(5/2)(1/t₀ )t=(5 10)/(264)=(510 )/(28)=25/8=3,125 кг. Демак, та=рибан 10 кун ичида =орамол вазнига 3,125 кг =ышилар экан.
Биз ю=орида кырдикки, функция орттирмаси у учун у=f¹(x₀)x+(x)x формула ыринли былиб, х етарли кичик былганда, ушбу f(x₀+x)f(x₀)+f¹(x₀)x (4) та=рибий тенглик ыринли былади. (4) формула ёрдамида функцияни бирор ну=тадаги =иматини билган щолда бу функцияни х=х₀+х ну=тадаги =ийматини та=рибан щисоблаш мумкин былади. Масалан, х, sinx, xⁿ, lnx функцияларини бирор х=х₀+х ну=тадаги та=рибий =ийматлари мос равишда =уйидаги та=рибий тенгликлардан ани=ланади:
 х₀+х х₀+(1/2 х₀)х, sinxsinx₀+cosx₀ x,
xⁿ=(x₀+ x)ⁿx₀ⁿ+nx₀^n-1x, lnxln(x₀+x)lnx₀+(1/x₀) x.
 М исол 1. 17 дан та=рибий илдиз чи=арилсин: х=17=16+1, х₀=16, х=1; у щолда  17 16+(1/216 )1 =4+1/8=4,125.