Олий математика сизга та=дим этилаётган мазкур маъруза матнларида «Олий математика»

5. Функция щосиласини и=тисодий масалаларга тадби=лари.
А) Щосилани и=тисодий маъноси. Фараз =илайлик, ишлаб чи=ариш харажатлари у мащсулот ми=дори х нинг функциясидан иборат былсин. Бу функцияни у=к(х) билан белгилайлик. Агар мащсулот х+х га ортса, мащсулот учун харажат ми=дори к(х+х) былади. Натижада х га мос келувчи харажат ми=дори  к=к(х+х)-к(х) былади. У щолда k/x нисбат ыртача харажат ми=дорини ызгариш тезлигини билдиради. Агар ушбу lim k/x лимит
^х0
мавжуд былса, бу лимитни бирлик мащсулотга мос келувчи ишлаб чи=ариш харажатлари меъёри чегараси дейилади. Худди шундай мулощаза билан агар х дона мащсулот ми=дорига мос келувчи у мащсулотни сотишдан келадиган даромад y=U(x) былса, у щолда
lim(U(x)/x)=U¹(x) щосилани шу ишлаб чи=ариш жараёнини
^х0 даромадни меъёрий ёки кирим чегараси дейилади.
Б) Функцияни эгилувчанлиги тушунчаси. у=f(x) функция берилган былсин, х - эркли ызгарувчи х ни орттирмаси былса, у щолда эркли ызгарувчи х ни нисбий орттирмаси х/х былади. Эрксиз ызгарувчини нисбий орттирмаси эса у/у. Бу икки ми=дорларнинг нисбатлари (у/у):(х/х)=( у/х)(х/у) былади.
Натижада функция эгилувчанлиги Е_х(у) (х - эркли ызгарувчига нисбатан) =уйидагича ани=ланади:
lim ( ( y / y ) : ( x / x )) = ( x / y ) ( dy / dx ) = ( x / y ) y¹ .
^х0 Яъни E_x(y)=(x/y)(dy/dx) экан. Демак, y=f(x) функцияни х га нисбатан эгилувчанлиги шу функцияни эркли х ызгарувчини бир фоизига нисбатан ысишини билдиради.
Мисол 2. у=х-5 функцияни эгилувчанлигини топинг. Е_х(у)=(х/у)у¹= =(х/(х-5))1=(х/(х-5)). Масалан, х=10 былганда, функция эгилувчанлиги Е₁₀(5)=10/(10-5)=2.
Демак, агар х эркли ызгарувчи бир фоизга ортса, у щолда функция у икки фоизга ортади.
В) Бащога нисбатан талабни эгилувчанлигини ани=лаш. Бирор мащсулотга талаб U ни шу мащсулот бащоси V нинг функциясидан иборат деб =араш мумкин: U=f(V). Агар V - бащо орттирмаси, U - талаб орттирмаси былса, бащонинг нисбий ызгарувчанлиги V/V, талабни нисбий ызгарувчанлиги U/U былади. Натижада =уйидаги нисбатни (U/U): (V/V) - мащсулот нарщи бир фоизга ошганда, мащсулотга талабни нисбий ызгариши деб =араш мумкин.
Бундан, lim((U/U):(V/V))=(V/U)(dU/dV)=(V/U)U¹;
^х0 Яъни E_T=E_V(U)=(V/U)(dU/dV) ми=дорга мащсулотга талабни унинг бащоси бир фоизга ошгандаги эгилувчанлиги дейилади. Кыпгина щолларда мащсулот нарщи ошганида унга талаб камайиши сабабли dU/dV<0 былади. Бундай щолларда манфийликдан кутилиш учун, талабнинг эгилувчанлигини Е_Т=E_V(U)=(-V/U)(dU/dV) деб олиш мумкин.

1. 
   Агар E_V(U)>1 былса, у щолда мащсулот нархи 1 фоизга ошса, мос равишда мащсулотга талабни 1 %дан кып камайиши кузатилади, яъни талаб эгилувчан былади.
   
2. 
   Агар E_V(U)=1 былса, мащсулот нархини 1 % га ошиши талабни щам 1 % га камайишига олиб келади, яъни талаб бетараф былади.
   
3. 
   Агар 0_V(U)<1 былса, у щолда 1 % мащсулот нарщининг ошиши, мащсулотга талабни 1 % дан кам камайишига олиб келади, яъни талаб эгилувчан былмайди.
   

Мисол 3. Мащсулотга талаб у=4-х шаклида былсин. dy/dx=-1<0 былганлиги учун талабни эгилувчанлиги E_x(y)=(-x/y)(dy/dx)=(-x/(4-x))(-1)=x/(4-x) былади. Агар х=2 былса, Е_Т=2/(4-2)=1 былади. Буни маъноси, агар мащсулот нархи 2 сым былганда унинг бащосини 1 %-га оширилиши, унга талабни 1 % га камайишига олиб келади.
Г) Тыла ва ыртача харажатларни эгилувчанлигини ани=лаш. Агар бирор хыжалик х ми=дорда мащсулот етиштирса, у щолда хыжаликни тыла харажати к(х) былиб, бу функция эгилувчанлиги =уйидагича ани=ланади: Е_х(к)=Е_к=(х/к)(dk/dx), яъни тыли= харажат эгилувчанлиги, харажат меъёрини унинг ыртача харажат ми=дорига, нисбатига тенг. Худди шундай ыртача харажат эгилувчанлиги П=к/х =уйидагича ани=ланади: Е_х(П)=Е_n=(x/П)(dП/dх)=(х/(к/х))((х(dk/dx)-k)/x²)=(x/k)(dk/dx)--1=E_k-1=E_x(k)-1. Демак, Е_х(П)=Е_х(к)-1 ыртача харажатни эгилувчанлиги, тыла харажат эгилувчанлигидан битта камига тенг экан. Агар Е_х(к)=1 былса, ыртача харажатни эгилувчанлиги нолга тенг, щамда Е_х(П)=0 былади, ыртача харажат ызгармаслигини билдиради. Умуман, агар тыла харажатлар эгилувчанлиги 1 га тенг былса, у щолда лимитик харажат (чи=им) ыртача тыли= харажатга (чи=имга) тенг былади.