Олий математика сизга та=дим этилаётган мазкур маъруза матнларида «Олий математика»

R=lim a_n/a_n+1 (6).
^n
Мисол. Ушбу xⁿ=1+x+x²+...+xⁿ+... даражали =аторнинг я=инлашиш радиуси ва я=инлашиш интервали топилсин. Ю=оридаги формулага кыра R= 1/l =1. Демак, берилган даражали =аторнинг я=инлашиш радиуси R=1, я=инлашиш интервали (-1, 1) былади. Бу даражали =атор R=-1, R=1 ну=таларда узо=лашувчидир(чунки 1+1+1+...+(-1)^n-1+...
ва 1-1+1-1+...+(-1)ⁿ+... сонли =аторлар узо=лашувчи).
_
1⁰-Агар Σ а_nxⁿ даражали каторнинг якинлашиш радиуси R(R>0)
ⁿ⁼⁰ былса,даражали катор {- ,  } сегментда (0<_.
2⁰Агар Σ а_nxⁿ даражали каторнинг якинлашиш радиуси
ⁿ⁼⁰ _
R(R>O),былса даражали =аторнинг йи`индиси S(x)= Σ а<sub>n</sub>x<sup>n</sup>,x(-R,R) интервалда узлуксиз былади. <sub></sub> <sup>n=0</sup>
3<sup>0</sup> Агар Σ а<sub>n</sub>x<sup>n</sup> даражали =аторнинг я=инлашиш радиуси R(R>0) былиб <sub></sub> <sup>n=0</sup> йи`индиси
S(x)= Σ а_nxⁿ=а₀+а₁х+а₂х²+.... +а_nхⁿ+... былса, у холда бу
ⁿ⁼⁰
=аторни [a,b]  (-R, R) да щадлаб интеграллаш мумкин, яъни
_{в  в}
S(x)dx=[Σа_nxⁿ]dx=Σ[(a_nxⁿ)dx] былади
. ^{а n=1 n=1 а}
_
4⁰Агар Σ а_nxⁿ даражали =аторнинг якинлашиш радиуси
ⁿ⁼⁰ R(R>0) былиб, йи`индиси
_
S(x)= Σ а_nxⁿ=а₀+а₁х+а₂х²+.... +а_nхⁿ+... былса, у щолда бу =аторни х(-R,R) да
ⁿ⁼⁰
щадлаб дифференциаллаш мумкин, яъни
S(x)=(Σ а_nxⁿ) а₁+2а₂х+3а_хх²+...+na_nx^n-1+.... былади
Саволлар:

1. 
   Абель теоремасини келтиринг.
   
2. 
   Даражали =аторнинг я=инлашиш радиусини топиш формуласини келтиринг.
   

32-МАВЗУ: МАКЛОРЕН ВА ТЕЙЛОР +АТОРЛАРИ. ФУНКЦИЯЛАРНИ ДАРАЖАЛИ +АТОРЛАРГА ЁЙИШ.
Режа:
1.Функцияларни даражали =аторларга ёйиш.Маклорен ва Тейлор =аторлари.
2.+аторларни та=рибий щисоблашларга тадби=лари.
Адабиётлар: 1, 2, 3.
Айтайлик f(x) функция IxIf(x)= а₀+а₁х+а₂х²+...a_nxⁿ (1) даражали =аторга ёйилган былсин бу ерда а₀,а₁,а₂,...-коэффицентидир.Бизга маълумки (1) =аторни ызининг я=инлашиш сощасида щадлаб дифференциаллаш мумкин.Ха=и=атан щам (1) =аторни кетма-кет дифференциаллаш ва щосил былган ифодаларни х=0 ну=тадага =ийматларни щисоблаш натижасида а₀,а₁,...а_n,...-коэффициентлар учун ушбу ифодаларга эга быламиз.a₀=f(0), a₁=f(0)/1,
a₂=f(0)/(1*2), a₃=f(0)/(1*2*3), a₄=f(0)/(1*2*3*4)... Бу топилган коэффицентларни (1) =аторга =ыйсак f(x)=(f(0)+f(0)/1!x+f(0)/2!x²+...+f⁽ⁿ⁾(0)/n!xⁿ+... (2) Маклорен =атори щосил былади. (2) формулани берилган f(x) функциянинг Маклорен =аторига ёйиш формуласи дейилади.

2. 
   =атор, коэффицентлари а_к=f^k(0)/k! (k=0,1,2,...) былган даражали =атордир.Шундай =илиб =уйидаги теорема ыринлидир
   

Теорема. Агар f(x) функция бирор ]-R,R [ орали=да исталган тартибли щосилага эга былиб,IxI(n)(x) (2) =аторни кыпинча f(x)=f(0)+f(0)/1!x+f(0)/2!x²+..+f⁽ⁿ⁾(0)/n!xⁿ+R_n(x) кыринишида ёзилади. Бу ерда R_n(x)=f(x)-Σ f^r(0)/r!x^k =аторнинг =олди= щади дейилади. +олди= щадининг Лагранж формаси R_n(x)=xⁿ⁺¹/(n+1)fⁿ⁺¹ (x) былади 0<<1. Х нинг R_n(х) =олдик етарли кичик быладиган =ийматларида ушбу f(x)f(0)+f(0)/1!x+f(0)/2!x²+//+f(0)/n!xⁿ такрибий тенгликни ёзиш мумкин
f(x)=e^x, f(x)=sinx, f(x)=cosx, ва f(x)=(1+x)^m функцияларни Маклорен =аторига ёйилмалари. Кырсатиш мумкинки барча хR лар учун ушбу
e^x=1+x/1!+x²/2!+x³/3!+...+xⁿ/n!+... sinx=x/1!-x³/3!+x⁵/5!-...+(-1)^n-1 х^2n-1/(2n-1)! + cosх=1- х²/2!+х⁴/4! - ... +(-1)ⁿ х²ⁿ/2n! + ... ёйилмалар ыринлидир.
f(х)=(1+х)^m (m-бутун ёки каср, мусбат ёки манфий сон) функция учун
-1 < х < 1 орали=да (1+х) ^m= 1+m/1х + m(m-1)/2!х² + ... + m(m-1)... (m-n+1) хⁿ/n!+...ёйилма ыринлидир. Бу =аторни биноминал =атор дейилади.
Функцияларни Тейлор =аторига ёйиш. Айирим щоларда f(х) функция ёки унинг щосилалари х=0 ну=тада маънога эга былмайди. Бунга f(х) = lnх, f(х)=х, f(х)=ctgx каби функциялар мисол былади. Равшанки бундай функцияларни Маклорен =аторига ёйиб былмайди. Бундай холларда берилган функцияни Тейлор =аторига ёйиш =улай былади.
Таъриф. Айтайлик f(x) функция х=а ну=та атрофида ани=ланган былиб, шу ну=тада f(x) нинг барча щосилалари чекли мавжуд былсин.У щолда :
f(x)=Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n!(x-a)ⁿ=f(a)+f’(a)/1!(x-a)+f’’(a)/2!(x-a)²+///+f⁽ⁿ⁾(a)/n!(x-a)ⁿ+....(3)
=аторни Тейлор =атори дейилади.
формулани f(x) функцияни х=а ну=тада Тейлор =аторига ёйиш формуласи дейилади. Хусусан (3) формулада а=0 десак f(x)=f(0)+f’(0)/1!x+f⁽ⁿ⁾(0)/n!xⁿ+... Маклорен =атор щосил былади.
Саволлар:
1. Даражали =аторни я=инлашиш радиусини топиш формуласини келтиринг.
2. Тейлор ва Макларен =аторларини ёзинг.