Олий математика сизга та=дим этилаётган мазкур маъруза матнларида «Олий математика»

Тартиби пасайтириладиган дифференциал тенгламалар.

у¹¹=f(x, y¹) (3) бу тенгламада номаълум функция у=у(х) ошкор иштиро= этмайди. Бу тенгламани ечиш учун у¹=z алмаштириш =илинади. Натижада (3) тенглама биринчи тартибли дифференциал тенгламага келтирилади, яъни z¹=f(x, z). Бу тенгламани ечиб, номаълум z=z(x) функция топилади, яъни z=(x, C). z=y¹ эканлигидан. Охирги тенгликдан у¹=(х, с) тенглама келиб чи=ади. Бундан эса у¹=(х, с)dy=(x, c)dxy=((x₁, c₁))dx+C₂ ечимга эга былинади. Бу ечим берилган дастлабки (1) тенгламанинг ечимидан иборат былади.
Мисол: у=2/х у тенглама ечилсин
Ечиш: у=z алмаштириш =иламиз. Натижада z = 2/х z ёки dz/dx=2/xz ызгарувчилар ажратиладиган биринчи тартибли дифференционал тенглама щосил былади. Бу тенгламани ызгарувчиларини ажратамиз ва интеграллаймиз.

lnz = 2 lnx+lnC₁lnz=lnx²C₁
Бундан Z = 2C₁X² ечим щосил былади. Бу ечимни у¹=z тенгламага =ыйсак у¹=С₁Х² содда биринчи тартибли дифференционал тенглама щосил былади. Охирги тенгламани ечими у=С₁ (Х³/3 + С₂) кыринишида былади. Бу ечим берилган дастлабки тенгламани умумий ечимини ифодалайди.
Саволлар:
1. +андай тенгламага иккинчи тартибли чизи=ли дифференциал тенглама дейилади.
2. +андай тенгламага тартиби пасайтириладиган тенглама дейилади.


28-МАВЗУ: ЫЗГАРМАС КОЭФФИЦИЕНТЛИ ИККИНЧИ ТАРТИБЛИ БИР ЖИНСЛИ ЧИЗИ+ЛИ ТЕНГЛАМАЛАР.
Режа:
1. Ызгармас коэффициентли иккинчи тартибли би жинсли чизи=ли дифференциал тенгламалар.
2. Характеристик тенглама ва уни илдизлари.
Адабиётлар: 1,3,6.
Таъриф 1. Ызгармас коэффициентли бир жинсли чизи=ли иккинчи тартибли дифференциал тенглама деб y¹¹+py¹+qy=0 (4) кыринишдаги тенгламага айтилади, бунда р ва q - ызгармас ща=и=ий сонлар. Ю=оридаги теоремаларга асосан бу тенгламанинг умумий ечимини топиш учун унинг иккита чизи=ли эркли хусусий ечимини топиш етарлидир. Тенгламани ечиш учун у=е^кх деб фараз =иламиз, бу ерда к - нолга тенг былмаган ызгармас сон. Щосилаларни топамиз: у¹=ке^кх, у¹¹=к²е^кх. Буларни (4) тенгламага келтириб =ыямиз: к²e^kx+pk^kx+qe^kx=0 (5) е^кх0 былгани учун (5) тенгламадан k²+pk+q=0 (6) щосил былади. Демак, к (6) тенгламани =аноатлантирса, е^кх (4) тенгламанинг ечими былади. (6) тенглама (4) тенгламанинг характеристик тенгламаси дейилади. (6) тенглама иккита илдизга эга былади, уларни к₁ ва к₂ билан белгилаймиз: k₁=-p/2+p²/4-q, k₂=-p/2-p²/4-q. Бу ерда =уйидаги щоллар былиши мумкин: 1) к₁ ва к₂ ща=и=ий ва (к₁к₂); 2) к₁ ва к₂ ща=и=ий ва бир-бирига тенг (к₁=к₂); 3) к₁ ва к₂ комплекс сонлар.
а) Щар бир щолни алощида-алощида кыриб чи=амиз:
а) Характеристик тенгламанинг илдизлари ща=и=ий ва щар хил (к₁к₂). Бу щолда у₁=е^{к1 х}, у₂=е^{к2 х} функциялар хусусий ечимлар былиб, тенгламанинг умумий ечими у=С₁е^{к1 х}+С₂е^{к2 х} (4) кыринишида былади.
б) Характеристик тенгламанинг илдизлари ща=и=ий ва тенг (к₁=К₂). Бу щолда к₁=к₂=-р/2 былиб, 2к₁=-р ёки 2к₁+р=0 былади. Битта хусусий ечим у=е^{к1 х} маълумдир. Иккинчи хусусий ечимни у₂=u(x)e^{k1 x} кыринишда излаймиз. Бу щолда (4) тенгламани умумий ечими у=(с₁+с₂х)е^{к1 х} былади.
в) Характеристик тенгламанинг илдизлари комплекс сонлар былган щол. Илдизлар к₁=-i, k₂=+i кыринишда былсин.Бу ерда
=-p/2 =√q-p²/4 У щ олда (4) дифференциал тенгламанинг хусусий ечимлари у₁=е^{( +i)x}, y₂=e^(-i)x кыринишда былиб, (4) ни умумий ечими эса у=е ^х(с₁сosx+c₂sinx) былади.