Олий математика сизга та=дим этилаётган мазкур маъруза матнларида «Олий математика»

Адабиётлар: 1, 2, 4.
1. Бир жинсли дифференциал тенгламалар.
Икки ызгарувчили f(x; y) функция учун ихтиёрий t да f(tx, ty)=tf(x, y) тенглик бажарилса, унда f(x, y) ифода бир жинсли (ани=ро`и, нолинчи тартибли бир жинсли) функция дейилади. Агар y¹=f(x, y)(1) дифференциал тенгламанинг ынг томонидаги f(x, y) ифода бир жинсли функция былса, у щолда (1) тенглама бир жинсли дифференциал тенглама дейилади.
f(x, y) бир жинсли функция былса, у щолда ихтиёрий t учун f(tx, ty)=f(x, y) былади. Хусусан, t=1/x былганда f(1, y/x)=f(x, y) былади ва бу щолда (1) тенглама =уйидаги кыринишга келади:y¹=f(1, y/x)= (y/x) (2) Бу тенгламани ечиш учун у/х=u деб оламиз. Унда y=ux, y¹=(ux)¹=u¹x+ux¹=u¹x+u былади. Буларни (2) тенгликка =ыйиб ызгарувчилари ажраладиган ушбу тенгламага u¹x+u=(u). u¹x=(u)-u, d/((u)-u) =dx/x. x(du/dx)= (u)-u. Ощирги тенгламани ызгарувчиларини ажратиб ин-тегралаймиз (du/((u)-u)=dx/x=lnC, du/((u)-u)=lnx+lnC, lnCx=du/((u)-u).
Мисол. Ушбу у¹=у/(х+у) тенгламани ечинг.
Ечиш. Бу тенгламанинг ынг томонидаги f(x,y)=у/(х+у) функция бир жинсли функция. Ха=и=атан щам, f(tx, ty)=ty/(tx+ty)=ty/t(x+y)=y/(x+y). Демак, берилган тенглама бир жинсли дифференциал тенглама. Бу тенгламани =уйидагича y¹=y/(x+y)=[y/x]/[(x+y)/x]=(y/x)/1+y/x) ёзиб, сынг y/x=u деб оламиз. У щолда y=ux, y¹=u¹x+u былиб, быларни (1) га =уямиз.
u¹x+u=u/(1+u), u¹x=u/(1+u)-u=-u²/(1+u). Натижада x(du/dx)=-u²/(1+u), яъни -[(1+u)/u²]du=dx/x тенгламага келамиз.
Бундан (-(1+u)/u²)du= dx/x+lnC; 1/u-ln u=ln x+ln C, x=y ln Cy былиши келиб чи=ади. Бу эса берилган тенгламанинг умумий ечимидир.
2. Биринчи тартибли чизи=ли дифференциал тенгламалар.
Номаълум функция ва унинг щосилаларига нисбатан чизи=ли былган ушбу y¹+p(x)y+q(x)=0 (3) кыринишдаги тенглама биринчи тартибли чизи=ли дифференциал тенглама дейилади, бунда p(x) ва q(x) узлуксиз функциялар. (3) тенгламанинг ечимини y=u(x)v(x)=uv кыринишда излаймиз: u¹v+uv¹+p(xuv+q(x)=0; u¹v+u(v¹+pv)+q=0. (4). Энди v ни шундай танлаймизки, v¹+pv=0 былсин, яъни dv/dx+pv=0. dv/v=-p(x)dx, ln v=-p(x)dx. V=e^-p(x)dx былсин. Бу топилган v ни (4) тенгламага =ыямиз: u¹e^-p(x)dx+q=0, dv/dx=-qe^pdx, u=- q(x)e^{ pdx}+C. Натижада y=uv=e^-pdx (C+qe^pdxdx). Демак, берилган (3) тенгламанинг умумий ечими бундай былади: