Олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги мирзо улуғбек номидагиўзбекистон миллий университети ҳузуридаги педагог кадрларни қайта тайёрлаш ва уларнинг малакасини ошириш

2.2. Детерминантлар ва уларни хоссалари

Ихтиёрий ўлчовли квадрат матрица

нинг элементларидан тузилган ушбу

ифода ( матрица каби та сатр ва та устунга эга бўлган ифода) матрицанинг -тартибли детерминанти дейилади ва (ёки , ёки каби белгиланади:
.
Матрица элементи детерминантнинг ҳам элементи дейилади.
Масалан, бўлганда
бўлиб, бўлганда

бўлиб,
; (1)
бўлганда

бўлиб,



(2)
бўлади.
Одатда (1) ва (2) мос равишда иккинчи ва учинчи тартибли детерминантлар дейилади.
Демак, детерминантлар сонларни ифодалайди.
Детерминантлар қуйидаги хоссаларга эга:

1. 
   Детерминантнинг бирор сатри(устуни)фақат ноллардан иборат бўлса, детерминантнинг қиймати нолга тенг бўлади;
   
2. 
   Агар детерминантнинг иккисатри (икки устуни) даги элементлари пропорционал бўлса, детерминантнинг қиймати 0 га тенг бўлади;
   
3. 
   Агар детерминантнинг бирор сатри (устуни) бирор ўзгармас сонга кўпайтирилса, детерминантнинг қиймати ҳам га кўпаяди:
   
4. 
   Агар детерминантнинг икки сатри (икки устуни) ўринларини алмаштирилса, детерминант ишорасини ўзгартиради.
   
5. 
   Агар детерминантнинг бир йўлини (устунини)ўзгармас сонга кўпайтириб, уни бошқа сатрига (устунига) қўшилса, детерминантнинг қиймати ўзгармайди:
   

Фараз қилайлик, бирор

учинчи тартибли детерминант берилган бўлсин. Бу детерминантнинг бирор элементини олиб, шу элемент жойлашган сатрни ҳамда устунни ўчирамиз. Равшанки, қолган элементлари иккинчи тартибли детерминантни ҳосил қилади. Бу детерминантга элементнинг минори дейилади ва у каби белгиланади.
Ушбу

миқдор элементнинг алгебраик тўлдирувчиси дейилади.
Теорема.Детерминантнинг бирор сатрида жойлашган барча элементларнинг уларга мос алгебраик тўлдирувчилари билан кўпайтмасидан ташкил топган йиғинди шу детерминантнинг қийматига тенг бўлади.
Иккинчи тартибли детерминант, таърифга кўра

бўлади.
Учинчи тартибли детерминант, таърифга кўра

бўлади. Бу тенгликда қатнашган иккинчи тартибли детерминантларни ҳисоблаб топамиз:

Демак, учинчи тартибли детерминант 6 та ҳад йиғиндисидан иборат бўлиб, уларнинг учтаси мусбат ишорали, учтаси манфий ишорали бўлади.
Мусбат ва манфий ишорали ҳадларни ёзишда қуйидаги тасвирланган схемалардан фойдаланиш қулай бўлади,
.
Агар учинчи тартибли детерминантни қуйидаги кўринишда ёзиб олсак

• 
  
  

детерминантнинг қийматини Саррюс усули деб аталувчи усул билан ҳам ҳисоблаш мумкин;

3-мисол. Ушбу

детерминант ҳисоблансин.
◄Бу детерминантни ҳисоблашда (2) формула ва келтирилган схемадан фойдаланамиз:

►
4-мисол. Ушбу

тенглама ечилсин.
◄(1) формулага кўра

бўлади. Кейинги тенглама

кўринишга келиб, ундан бўлиши келиб чиқади.►
5-мисол.Келтрилган теоремадан фойдаланиб ушбу

детерминант ҳисоблансин.
◄Юқоридаги теоремани берилган детерминантнинг иккинчи сатрига нисбатан татбиқ этиб топамиз:



Демак, .►
6-мисол.Ушбу



тўртинчи тартибли детерминантни теоремадан фойдаланиб иккинчи устун бўйича ёйилсин.
◄ Теоремадан фойдаланиб топамиз:


.►