Oliy matematika asoslari

ва 5- т аъриф лар) т аъриф лари у з а р о эквивалент дир.
И с б о т .
1) 
f ( x )  
ф у н к ц и я а 
н у к т а д а
4 - т а ъ р и ф г а
(Гейне 
т а ъ р и ф и г а ) к у р а л и м и т г а эг а булсин, я ъ ни X  т у п л а м н и н г н у к т а л а р и ­
д а н т у з и л г а н, а га и н т и лувч и х а р к а н д а й {хп} (х п ф а , п =  1, 2 , 3, ... ) 
к е т м а - к е т л и к о л и н г а н д а д а м мос {/(*«)} к е т м а - к е т л и к я г о н а b л и м и т г а 
интилсин. Б и з шу Ь сон f ( x )  ф у нк ц и я н и н г х = а н у к т а д а 5- т а ъ р и ф г а
( К о ш и т а ъ р и ф и г а ) к у р а х а м л имит и б у ли ши н и к у р с а т а м и з .
Т е с к а р и с ин и ф а р а з к и л а й л и к , я ъ ни f ( x )  ф у н к ц и я х = а  н у к т а д а
4- т а ъ р и ф г а к у р а b л им ит г а эга б у лс а хам, ф у н к ц и я шу н у к т а д а
5- т а ъ р и ф г а к у р а b л им и т г а эг а б у л м а с и н . Унда бирор е = е0> 0 сон 
учун ихт иёрий кичик м у с б а т 6 сон о л и н г а н д а х а м а р г у ме нт х  нинг 0 <
<С \ х — а | < 6 т е н г с и з л и к л а р н и к а н о а т л а н т и р у в ч и б и р о р х'\ к и й ма т и -
да
\f(x '\)
—
b \
> е 0
б ул а д и .
Н о л г а интилувч и м у с б а т с о н л а р к е т м а -к е т л и г и {6 „} ни олайлик.
У х о л д а ю к о р и д а г и г а к у р а х а р б ир 6 „ > 0 ( п =  1, 2, 3, ...) учун 
х  
а рг у м е н т ни н г
0 < | х — а \ < 6
т е нг с из л ик ни 
к а н о а т л а н т и р у в ч и
ш у н д а й х = х п ( п =  1 , 2 , 3 , ...) к и й м а т и т о п и л а д ик и , 0 <
\ х п — а \ < Й П 
ва \ f ( x n) — b | ^ е о б у л а д и . А м м о 6„—»0 д а н х п->-а б ул и ши , б у н д а н эса
4- т а ъ р и ф г а к у р а {f ( xn)} к е т м а - к е т л и к b га и н т и л и ш и л о з и м . | f ( x n) —
— b | ^ е 0; м у н о с а б а т эса б унг а зид д ир. Д е м а к , f ( x )  ф у н к ц и я х = а 
н у к т а д а 4- т а ъ р и ф г а к у р а Ь л им ит г а эг а б у л и ш и д а н унинг шу н у к т а д а
5- т а ъ р и ф г а к у р а х а м b л им ит г а эг а б у л и ши кел иб ч ик а д и.
2) 
f ( x )  ф у н к ц и я а н у к т а д а 5 - т а ъ р и ф г а ( К о ш и т а ъ р и ф и г а )
к у р а л и м ит г а эг а булси н, я ъ н и V g > 0 сон учун ш у н д а й 6 > 0 сон 
т о п и л а д и к и , 0 < | j c — а | < 6 т е н г с и з л и к л а р б а ж а р и л г а н д а | f ( x ) —
— b | < е т ен г си з л и к х а м ури н ли б ул а ди .
X  т у п л а м н и н г н у к т а л а р и д а н т у з и л г а н х а р бир х а д и а д а н ф а р к л и
ва а га интилувч и ихт иёрий {х п} к е т м а - к е т л и к ол айл ик .
С о н л а р ке т ма - к е т л иг и л им и т ин и н г т а ъ р и ф и г а к у р а , ю к о р и д а г и 
б > 0 учун ш у н д а й n 0^ N  сон т о п и л а д ик и , б а р ч а п > п 0 л а н учун \х„ —
— а\ < 6 т ен г си з л и к у р ин л и б у л а д и . Н а т и ж а д а х п ф а ( п =  1, 2, ...) 
м у н о с а б а т г а к у р а 0 < U „ — а | < 6 т е н г с и з л и к л а р ке либ 
ч и к а д и .
Б у
т е н г с и з л и к л а р д а н
эса 
5 - т а ъ р и ф г а
к у р а
\ f ( x n) — Ь | < е
т ен г с и з л ик кел иб ч и к а д и . Д е м а к , х п- + а
ва f ( x n) ^ b
б у л а д и .
204

---

Б и з к ж о р и д а f ( x )  ф у н к ц и я х ^ а  д аг и чекли b л и м ит г а эга 
б у л и ши н и н г К ош и т а ъ р и ф и н и
( 5 - т а ъ р и ф н и )
келт ирд ик . 6 = оо 
(6 = -l- о о , Ь = — оо) 
б у л г а н х о л да ф у н к ц и я л и ми т и н и н г Коши 
т а ъ р и ф и к у й и д а г и ч а и ф о д а л а н а д и .
6 - т а ъ р и ф. А г а р У Е > О сон у ч у н ш у н д а й  б > 0 с он топилсаки, 
х аргум ен т н и н г 0 < | j c — а | < 6 т е н г с и з л и к л а р н и щаноатлантирувчи 
б а р ч а к,ийматларида
\ f ( x ) \ > E  (f ( x ) > E ; - / ( х)  > Е)
т енгсизлик б а ж а р и л с а , f (х) ф у н к ц и я н и н г а нукт а д а ги лимити со 
( - f о о , — о о ) д е й и л а д и в а
l i m / ( x ) = оо ( l i m / (
jc
) = + о о ; П т / ( л: ) = — о о )
х-*-а 
х --а
х->-а
к а б и б е л г и л а н а д и .
М и с о л . Ушб у f ( x ) = ----------- ф у н к ц и я учун limf(.x) = oo були-
( х— 1) 
х-1
шини курсат ин г .
Агар 
0 сон учун 6 =
деб олинса, у холда 0 < \ х —  11 < 6
№
т е нг с из л ик ни к а н о а т л а н т и р у в ч и б а р ч а х  л а р д а
I/ ( * ) I = I . 
1 -'з I > Е
(х— 1)
т ен г си з л и к б а ж а р и л а д и . Д е м а к , l i m------ —- = о о .
*-i ( х— 1)
Энди f ( x )  ф у н к ц и я н и н г а н у к т а д а г и унг ва, ч ап л и м и т л а р и
т у ш у н ч а л а р и н и к е лт и р а м и з .
7 - т а ъ р и ф (Гейне т а ъ р и ф и ) . А г а р X т уп ла м н и н г н у ^ т а л а р и д а н  
т узилган, у а р б и р у а д и а д а н катта ( к и ч и к ) б у л и б , а га и н т и л у в ч и у а р  
щандай \хп\ кетма-кетлик о л и н г а н д а х;ам м ос {/ ( х п)} кетма-кетлик я г о н а  
Ь с о н и г а интилса, ш у Ь сон f ( х ) ф у н к ц и я н и н г а нукт а д а ги у н г ( ч а п )  
лимити д е й и л а д и в а к у й и д а г и ч а б е л г и л а н а д и :
lim f ( x ) = b  ёки f ( a - \ - 0 ) = b
х-+а +  О
lim f ( x ) = b  ёки / ( а — 0 ) = Ь
х - > а -  О
I X I
М и с о л . Уш б у f ( x )
( х ф О )  ф у нк ц и я н и н г ноль н у к т а д а г и
унг ва ч ап л и м и т л а р и н и топинг.
Н о л г а интилувч и т урли {х'п} ва [x'J\ к е т м а - к е т л и к л а р н и олайлик.
Ф а р а з к и л а й л и к , {х'п} к е т м а - к е т л ик 0 н у к т а г а ун г д а н , {х'Д эса 0 н у к т а г а
ч а п д а н интилсин. У х о л да бу к е т м а - к е т л и к л а р учун
f(x'n) 
f W )
■
• 
Лп 
лп
булиб, соннинг а б с о л ю т к и й м а т и т а ъ р и ф и г а к ура
f ( x ' n ) = % =  1, /(*") = - ! = - 1
Лп 
Лп
205
www.Огbita.Uz kutubxonasi

---

lim f ( x )  = lim - ^ - = 1 ,
х_* + о' 
x-» + Q x
lim f ( x ) =  lim - ! ^ - = — 1 .
x - » —0
x — — u •*
8 - т а ъ р и ф
( К о ш и т а ъ р и ф и ) . А г а р  V e > 0 сон у ч у н ш у н д а й  
6 > 0 сон топилсаки, аргумент х н и н г т енгсизликн и каноат лант ирувчи 
б а р ч а ки й м а т л а р и д а \ f ( x ) — b \ < e т енгсизлик б а ж а р и лса , Ь сон f ( x )  
ф у н к ц и я н и н г а н у^т а д а ги у н г ( ч а п ) лимити д е й и л а д и в а к у й и д а г и ч а  
б е л г и л а н а д и :
lim f ( x ) = b  ёки f ( a - \ - 0 ) = b
х -+ а -\-  О