Oliy matematika

Teorema. Agar х  а da limitga ega f₁(x) va f₂(x) funksiyaning mos qiymatlari uchun f₁(x)  f₂(x) tengsizlik bajarilsa, u holda lim f₁(x)  lim f₂(x) bo’ladi.

xа xа

Isboti. Shartga ko’ra f₁(x)  f₂(x), bundan f₁(x)- f₂(x) 0. Oldingi teoremaga binoan lim [ f₁(x)- f₂(x)]0 yoki lim f₁(x)-lim f₂(x) 0. Bundan lim f₁(x)  lim f₂(x) tengsizlik kelib

xа xа xа xа xа chiqadi. Teorema isbot bo’ldi. Bu teoremaga ko’ra tengsizlikda limitga utish mumkin ekan. Teorema (oraliq funksiyaning limiti haqida). Agar u(x), v(x) va z(x) funksiyalarning mos qiymatlari uchun u(x)v(x)z(x) tengsizliklar bajarilsa va lim u(x)=lim z(x)=b bo’lsa, u holda

xа xа lim v(x)=b bo’ladi. xа

Isboti. Shartga ko’ra lim u(x)=b va lim z(x)=b, demak istalgan >0 son uchun а nuqtaning

xа xа
₁-atrofi mavjudki, undagi barcha х lar uchun | u(x) b | tengsizlik bajariladi. Shunga o’xshash shu >0 son uchun а ning ₂ -atrofi mavjud bo’lib undagi barcha х lar uchun | z(x) b | tengsizlik bajariladi. Agar orqali ₁va ₂ sonlarning kichigini belgilasak а nuqtaning -atrofidagi barcha х lar uchun | u(x) b | va | z(x) b | tengsizlik bajariladi.
Bular
u(x) b  va  z(x) b (17.1)

tengsizliklarga teng kuchli.

Endi teorema shartidagi u(x)v(x)z(x) tengsizliklarni unga teng kuchli u(x) b v(x)b z(x)b tengsizliklar bilan almashtiramiz (barchasidan bir xil b son ayirildi).
Bunga (17.1) tengsizliklarni qo’llasak u(x) b v(x)-b z(x) b yoki bundan
<v(x)-b  tengsizlikka ega bo’lamiz. Shunday qilib а nuqtaning -atrofidagi barcha х lar uchun <v(x)-b  tengsizlik o’rinli ekan.
Bu lim v(x)=b ekanini bildiradi.

xа
Bu teoremani hazillashib «Ikki militsioner haqidagi teorema» deb atashadi. Nima uchun shunday deb atalishini o’ylab ko’rishni o’quvchiga havola etamiz.


8-misol. lim sinx  0 isbotlansin.

x0

Yechish. Radiusi 1 ga teng aylanani qaraymiz. 87-chizmadan: x>0 bo’lsa ^АС  sin x; АС=sinx, А_В^=х

ОА

(markaziy burchak o’zi tiralgan yoy bilan o’lchanadi), AC< АВ yoki sinx<x ekani ayon bo’ladi. x<0 bo’lganda |sinx|<|x| bo’lishi ravshan.

Shunday qilib x>0 uchun 0x<x va x<0

87-chizma.
uchun 0<|sinx|<|x| tengsizliklarga ega bo’ldik. lim 0 lim x0 ekanligini hisobga olsak 17.6-

x0 x0
teoremaga binoan lim sinx  0 ekanligi kelib chiqadi.


x0

x

9-misol. lim sin  0 isbotlansin.

x0 2

Yechish. 0  sin  sin x ekani ravshan. lim 0 limsinx0 bo’lgani uchun 17.6-

x0 x0 x teoremaga binoan lim sin  0 yoki lim sin  0 kelib chiqadi.

x0x0 2

10-misol. lim соsx 1 ekanligi isbotlansin.

x0

Yechish. 2s i n^{2 х} 1с o sx yoki сos x 1 2sin^{2 х} ekanligini e‘tiborga olsak

2 2

lim сosx  lim ^_1 2sin^{2 х}_ =

x0 x0  2

1 2limsin^{2 х} 1 20² 1 hosil bo’ladi. x0 2

Birinchi ajoyib limit sin x funksiya faqat х=0 nuqtada aniqlanmagan, chunki bu nuqtada kasrning surati ham,

x
mahraji ham 0 ga aylanib uni o’zi ko’rinishga ega bo’ladi. Shu funksiyaning х0 dagi limitini topamiz. Bu limit birinchi ajoyib limit deb ataladi.
sin x

Teorema. funksiya х0 da 1 ga teng limitga ega. x

Isboti. Radiusi 1 ga teng aylana olib АОВ markaziy burchakni х bilan belgilaymiz va u ^0, ^_ intervalda yotadi deb faraz qilamiz (87-chizma). _
 2 

Chizmadan ko’rinib turibdiki,

 АОВ yuzi<АОВ sektor yuzi< DOB yuzi (17.2).

Biroq,  АОВ yuzi = ОАОВsin x  11sin x  sin x (uchburchakning yuzi ikki tomoni va

ular orasidagi burchak sinusi ko’paytmasining yarmiga teng).


АОВ sektor yuzi = 1 2 1 12  х  1 x, ОВ  АВ 
2 2 2

1. 1 BD 1 1

   
   

 DOB yuzi = ОВ ВD  ОВ  1tgx  tg x.

2. 2 1 2 2
   

Shu sababli (17.2) tengsizliklar sin xx tgx ko’rinishni yoki ga qisqartirilgandan so’ng
sin xx  ^tgx ko’rinishni oladi. Buning barcha hadlarini sinx>0 ga bo’lamiz ^0 x ^₂ ^_. U
holda 1_ ^х _ ¹ yoki 1_ ^{sin x} _ сos x sin x сos x x
tengsizliklarga ega bo’lamiz. Bu tengsizliklar x>0 deb faraz qilinib chiqarildi.
sin(x) sin x
 , сos(x)  сosx ekanligini e‘tiborga olib, bu tengsizliklar x<0 bo’lganda ham
(x) x
to’g’ri degan xulosaga kelamiz. Ammo lim1 1 va lim соsx 1.


x0 x0
sin x
Demak, funksiya shunday ikki funksiya orasidaki, ularning ikkalasi ham bir xil 1 ga x
teng limitga intiladi. Shuning uchun oraliq funksiyaning limiti haqidagi 16.6-teoremaga binoan sin x sin x sin x
oraliqdagi funksiya ham ana shu 1 limitga intiladi, ya‘ni lim =1. у  x x0 x x
funksiyaning grafigi 88-chizmada tasvirlangan.

sin x

11-misol. lim x0	=lim ^cos^x=lim =lim lim =1 1. x x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x 1
12-misol. lim x0	sinmx sinmx sinmx =lim m =mlim =m1=m (m-o’zgarmas son). x x0 mx x0 mx

tg x sin x 1 sin x 1 1
sinx sinx

lim

13-misol. lim sinx =lim x = x0 x =.

x0 sin x x0 sin^x lim sinx 

x x0 x


88-chizma.


Ikkinchi ajoyib limit Ushbu x_n ^^1 ^{1 }^{n }^ sonli ketma-ketlikni qaraymiz, bunda n-natural son.
_ n 


n

Teorema. Umumiy hadi x_n  ^_1 ^1_ bo’lgan ketma-ketlik n da 2 bilan 3 orasida
 n
yotadigan limitga ega.

Isboti. Nyuton binomi formulasi
_{а } bn _ an _ ⁿ an_1b _ n(n 1⁾ an_2b2 _ n(n 1)(n  2⁾ an_3b3 _ ..._
1 1 2 1 23

n(n 1)(n  2)...[n  (n 1)] n
 b
1 23...n
dan foydalanib ketma-ketlikni x_n va x_n1 hadlarini quyidagi ko’rinishda yozamiz:


n 2 3
 1  n 1 n(n 1)  1  n(n 1)(n  2)  1 
1  1        ...
 n 1 n 12  n 123  n


n(n 1)(n  2)...[n  (n 1)] 1 ⁿ 1 ^ 1 ^ 1 ^ 1 ^ 2^ (17.4)
   11 1   1 1  ...
123...n  n 12 n 123 n n
1  1  2  n 1  1 1 ...1 , 123...n  n n  n 


n1

xn1  1 1  11 1 1 1   1 1 1 1 2  ...
 n 1 12 n 1 123 n 1 n 1
 1 1 1 1 2 ...1 n 1  1 1 1 1 2 ...1 n 
123...n n 1 n 1  n 1 123...(n 1) n 1 n 1  n 1 _.


x_n bilan x_n1 ni taqqoslasak, x_n1 had x_n haddan bitta musbat qo’shiluvchiga ortiqligini k k
ko’ramiz. 1 1 k 1,2,3...,n 1 bo’lgani uchun uchinchi haddan boshlab x_n1 dagi n 1 n
har bir qo’shiluvchi x_n dagi unga mos qo’shiluvchidan katta. Demak, istalgan n uchun x_n1 > x_n va

n
umumiy hadi x_n  ^1 1^ bo’lgan ketma-ketlik monoton o’suvchi.
 n
Endi berilgan ketma-ketlikni chegaralanganligini ko’rsatamiz. Istalgan k=1,2,3,… uchun k
1 1 ekanini hisobga olib (17.4) formuladan

n

n

xn  1 1 <11 1  1 ... 1  n 12 123 123...n
tengsizlikni hosil qilamiz.
1 1 1 1 1 1
So’ngra 1 2 3  22 , 1234  23 , ...,123...n  2n1  
ekanligini ta‘kidlab tengsizlikni

n

xn  1 1n <11 12  212  213 ... 21n1 ...
  

ko’rinishda yozamiz. Qavsga olingan yig’indi birinchi hadi а=1 va maxraji q= bo’lgan geometrik progressiyaning hadlari yig’indisini ifodalanganligi uchun cheksiz kamayuvchi a

geometrik progressiyaning hadlari yig’indisini topish formulasi S  ga asosan 1 q


n

x_n  ^_1 ^1_ <1 ¹ 1 2  3
 n 1_
tengsizlikka ega bo’lamiz. Ketma-ketlik monoton o’suvchi bo’lganligi sababli uning birinchi hadi
1

x₁  ^1 1^  2 uning qolgan barcha hadlaridan kichik bo’ladi.
 1

n n
Demak, barcha n uchun 2  ^1 ^1  3 o’rinli, ya‘ni umumiy hadi x_n  ^1 ^1 bo’lgan
 n  n
ketma-ketlik monoton o’suvchi va chegaralangan. Shu sababli u monoton chegaralangan ketmaketlikning limiti mavjudligi haqidagi 16.1-teoremaga ko’ra chekli limitga ega. Bu limitni е harfi bilan belgilaymiz, ya‘ni


^ 1^n lim_1 _  e . n n

е-irratsional son. Keyinroq uni istalgan darajada aniqlik bilan hisoblash usuli ko’rsatiladi.

е  2,7182818284... Teorema. ^_1_ ^{1 }_^х funksiya х da е songa teng limitga ega:
 х
lim^_1 ^1_^х  e (17.5). х х
1 1 1

Isboti. 1) х deylik. U holda n  x  n1;   ,

n x n 1
1 1 1 1 1 1 , 1 1ⁿ1  1 1x  1 1 n bo’ladi. Agar х , u holda n x n 1  n  x  n 1


n va lim1 1n1  lim 1 1x  lim1 1 n yoki

ⁿ n х x ⁿ n 1

n x n1 1
lim1 1 1 1  lim 1 1  lim1 1  1 1


n n  n х x n n 1  n

x x

e1 lim ^_1 ^1_  e1 bundan lim ^_1 ^1_  е kelib chiqadi. х x х x^
2) х deylik. Yangi t=-(x+1) yoki х=-(t+1) o’zgaruvchini kiritamiz. t  da х va


x (t1) (t1)
 1  1   t 
lim 1   lim 1   lim    х x ^t t 1 ^tt 1

t1 t1 t
 lim t 1  lim 1 1  lim 1 1 1 1  е1  e. t t  t t  t t   t 


x
Shunday qilib, lim ^_1 ^1_  е ekanini isbotladik. Bu limit ikkinchi ajoyib limit deb


х x
yuritiladi.
1
Agar bu tenglikda  deb faraz qilinsa, u holda х da 0 ( 0) va


х
1
lim1е

0
tenglikni hosil qilamiz. Bu ikkinchi ajoyib limitning yana bir ko’rinishi.

у ^1 ^{1 }^x funksiyaning grafigi 89-chizmada tasvirlangan.
 x 
Chizmadan ko’inib turibdiki bu funksiya (-
1,0) intervalda aniqlanmagan, ya‘ni 1
chunki 1 1 _ x ^1 va x 1  0, x  0. x x

Izoh. Asosi е bo’lgan
ko’ursatkichli funksiya eksponental funksiya deb ataladi. Bu funksiya mexanikada(tebranishlar nazariyasida),
89-chizma. elektrotexnikada va radiotexnikada, radioximiyada va hokazolarda turli hodisalarni o’rganishda katta rol o’ynaydi.

Izoh. Asosi е  2,7182818284...sondan iborat logarifmlar natural logarifmlar yoki Neper logarifmlari deb ataladi va og_e x o’rniga nx deb yoziladi. Bir asosdan ikkinchi asosga o’tish
og^cb dan foydalanib o’nli va natural logarifmlar orasida bog’lanish o’rnatish formulasi og_ab
og_ca
mumkin:

nx 1

g x   nx  0,434294 nx yoki nx n10 g x  2,302585g x .
n10 n10

n8 n 8 n 8

14-misol. lim1 1  lim1 1 1 1  lim1 1 lim1 1  e1 08  e. n n n n  n n n n n

x