Oltin qism usuli

O'zgaruvchan almashtirish usulinoaniq integrallarni hisoblashning asosiy usullaridan biridir. Hatto boshqa usul bilan integratsiyalashgan hollarda ham, oraliq hisob-kitoblarda o'zgaruvchan o'zgaruvchiga murojaat qilishimiz kerak. Integratsiyaning muvaffaqiyati ko'p jihatdan ushbu integralni soddalashtiradigan o'zgaruvchilarning bunday muvaffaqiyatli o'zgarishini topishimizga bog'liq.
Aslida, integratsiya usullarini o'rganish integralning u yoki bu shakli uchun qanday o'zgaruvchini o'zgartirish kerakligini aniqlashga qisqartiriladi.
Shunday qilib, har qanday ratsional kasrning integratsiyasi polinomni va bir nechta oddiy kasrlarni integrallashgacha kamayadi.
Har qanday ratsional funktsiyaning integralini cheklangan shaklda elementar funktsiyalar bilan ifodalash mumkin, ya'ni:
logarifmlar orqali - 1 tipdagi eng oddiy fraktsiyalar holatida;
ratsional funktsiyalar nuqtai nazaridan - 2-turdagi eng oddiy kasrlar misolida
logaritmalar va arktangentlar orqali - 3-turdagi eng oddiy fraktsiyalar holatida
ratsional funktsiyalar va arktangentlar nuqtai nazaridan - 4-turdagi eng oddiy fraktsiyalar holatida. Umumjahon trigonometrik almashtirish har doim integralni ratsionalizatsiya qiladi, lekin ko'pincha bu juda noqulay ratsional kasrlarga olib keladi, bu uchun, xususan, maxrajning ildizlarini topish deyarli mumkin emas. Shuning uchun, iloji boricha, integralni ratsionalizatsiya qiladigan va unchalik murakkab bo'lmagan fraktsiyalarga olib keladigan qisman almashtirishlar qo'llaniladi.
Nyuton-Leybnits formulasi aniq integrallarni topishga umumiy yondashuvdir.
Aniq integrallarni hisoblash texnikasiga kelsak, ular amalda ushbu usul va usullardan farq qilmaydi.
Xuddi shunday qo'llaniladi almashtirish usullari (o'zgaruvchining o'zgarishi), qismlar bo'yicha integratsiya usuli, trigonometrik, irratsional va transandantal funktsiyalar uchun antiderivativlarni topishning bir xil usullari. Yagona xususiyati shundaki, ushbu metodlarni qo'llashda transformatsiyani nafaqat integralga, balki integratsiya chegaralariga ham kengaytirish kerak. Integratsiyaning o'zgaruvchisini almashtirganda, mos ravishda integratsiya chegaralarini o'zgartirishni unutmang.
To'g'ri teoremadan funktsiya uchun uzluksizlik sharti funktsiyaning integral bo'lishi uchun etarli shartdir. Ammo bu aniq integral faqat uzluksiz funktsiyalar uchun mavjudligini anglatmaydi. Integral funktsiyalar klassi ancha kengroq. Masalan, cheklangan sonli uzilish nuqtalariga ega funktsiyalarning aniq integrali mavjud.
Nyuton-Leybnits formulasidan foydalangan holda uzluksiz funktsiyaning aniq integralini hisoblash antidivivni topishga kamayadi, u doimo mavjud, lekin har doim ham shunday emas elementar funktsiya yoki integrallar qiymatini olishga imkon beradigan jadvallar tuzilgan funktsiya. Ko'p sonli dasturlarda integrallanadigan funktsiya jadval shaklida berilgan va Nyuton - Leybnits formulasi bevosita qo'llanilmaydi.
Agar siz eng aniq natijani istasangiz, ideal simpson usuli.
Yuqorida o'rganilgan narsalardan xulosa qilishimiz mumkinki, integral fizika, geometriya, matematika va boshqa fanlarda qo'llaniladi. Integral yordamida kuchning ishi hisoblanadi, massa markazining koordinatalari, moddiy nuqta bosib o'tgan yo'l topiladi. Geometriyada jismning hajmini hisoblash, egri chiziqning yoy uzunligini topish va h.k.
x i -1/2 =(x i+x i -1) / 2 - o'rtada men- segment
Segment bo'yicha [ x i -1 , x i] integrand f(x) uchinchi darajali polinom sifatida P men(x). Ushbu polinom integral nuqtasining panjara nuqtalarida va segment o'rtasida joylashgan qiymatlariga teng bo'lishi kerak: P men(x i - 1)=f(x i -1) - polinomning chap chegaradagi funktsiya qiymatiga tengligi men- segment,
P men(x i- 1/2) = f(x i -1/2), P men(x i) = f(x i).
Bunday polinomni quyidagicha yozish mumkin:
P men(x)=a+ b ( x-x i -1) + c ( x-x i -1)(x-x i -1/2),
bu yerda a, b, c - aniqlanadigan noma'lum koeffitsientlar.
Keling, kenglik uchun yozuvni tanishtiramiz men- segment: h men=x i-x i -1 ,
keyin ( x-x i -1/2) \u003d h men/ 2 va ( x i -1/2 -x i -1) \u003d h men/2.
Polinomning qiymatlarini chapga, o'ng chegaralarga va o'rtaga yozamiz men- segment
P men(x i) = a+ b * h i +c * h men* h men/2 = f(x i)= f i (1)
P men(x i- 1) = a= f(x i -1)= f i -1 (2)
P men(x i- 1/2)= f(x i -1/2)= a+ b * h men/2 \u003d f i -1/2 (3)
Aloqadan (2) kelib chiqadi a= f i -1 ,
(3) ifodadan b \u003d h ekanligini anglash oson men (f i -1/2 - f i)/2,
(1) ifodadan biz c \u003d 2 ( f i-a-b h men) / soat men 2, a va b koeffitsientlari ifodalarini c koeffitsienti ifodasiga almashtiramiz, natijada quyidagilarga erishamiz:
c \u003d 2 ( f i - f i -1) / soat men 2 – (2 / soat men) (2 / soat men)(f i -1/2 - f i -1 ) ,
c \u003d 2 [ f i - f i -1 -2 f i -1/2 +2 f i -1] / soat men 2 ,
c \u003d 2 [ f men -2 f i -1/2 +f i -1] / soat men 2 .
Topilgan koeffitsientlarni almashtiring a, b, c polinom ifodasiga:
P men(x)= f i -1 + 2(f i -1/2 - f i -1)( x -x i -1) / soat men+ 2 [f men -2 f i -1/2 +f i -1 ] ( x -x i -1) ( x -x i -1/2) / soat men 2
X o'zgaruvchidan t \u003d o'zgaruvchiga o'tamiz x -x i -1
Keyin dt \u003d d xva x= x i - bitta; t \u003d 0, uchun x= x i; t \u003d h men da