Oltin qism usuli

"O'zgartirmaydigan" integrallarni hisoblash aniqligini baholash

Ushbu ishda absolyutni hisoblash va nisbiy xato aniq integralning aniq qiymati ma'lum bo'lish sharti bilan amalga oshiriladi. Biroq, har qanday antiderivativ ham, mavjud bo'lgan taqdirda ham, yakuniy shaklda elementar funktsiyalar orqali ifodalanmaydi. Bu integrallar bilan ifodalangan antiderivativlar va boshqalar. Bunday holatlarning barchasida antiderivativ - bu cheklangan miqdordagi elementar funktsiyalar kombinatsiyasiga kamaytirilmagan yangi funktsiya.

Bunday funktsiyalarning ma'lum integrallarini faqat taxminan hisoblash mumkin. Bunday holatlarda hisob-kitoblarning to'g'riligini baholash uchun, masalan, Runge qoidasidan foydalaniladi. Bunday holda, integral tanlangan formuladan (to'rtburchaklar, trapezoidlar, Simpson parabolalari) qadamlar soni n ga, so'ngra qadamlar soni teng bo'lgan holda hisoblanadi. Integral qiymatini teng qadamlar soni bilan hisoblashdagi xato Runge formulasi bo'yicha hisoblanadi: to'rtburchaklar va trapezoidlar formulalari uchun va Sipson formulasi uchun. Shunday qilib, integral qadamlar sonining ketma-ket qiymatlari uchun hisoblanadi, ..., bu erda qadamlarning dastlabki soni. Hisoblash jarayoni keyingi qiymat uchun shart bajarilganda tugaydi, bu erda aniqlik aniqlanadi.
Integratsiya oralig'ining turli bo'limlari uchun bir xil integralni bir necha marta hisoblamaslik uchun, integratsiya bosqichini oldindan hisoblash mumkin.
Misol. To'rtburchaklar, trapezoidlar, Simpsonning kvadrati formulalaridan foydalangan holda integralni 0,01 aniqlikda hisoblash uchun integral qadamni tanlang.
To'rtburchaklar to'rtburchaklar formulasi.
Xato qaysi bosqichda 0,01 bo'lishini hisoblab chiqamiz:
mag'lub bo'lmaydigan subintegral trapezoid parabola
Simpson formulasi
Agar har bir segment segmenti uchun biz ikkinchi darajali polinomni tuzadigan bo'lsak, uni segmentga birlashtiramiz va integralning qo'shilish xususiyatidan foydalansak, u holda Simpson formulasini olamiz.
Simpson uslubida aniq integralni hisoblash uchun butun integral oralig'i h \u003d (b-a) / n teng uzunlikdagi subintervallarga bo'linadi. Split segmentlar soni juft son. Keyin, har bir qo'shni subintervalning juftligida f (x) integralning o'rniga ikkinchi darajali Lagranj polinomiga almashtiriladi (5-rasm).
Shakl: 5 Segmentdagi y \u003d f (x) funktsiya ikkinchi darajali polinom bilan almashtiriladi

Segment bo'yicha integralni ko'rib chiqing. Biz ushbu integralni almashtiramiz interpolatsion polinom Ikkinchi darajadagi lagranj, y \u003d nuqtalarga to'g'ri keladi:
Keling, segmentga birlashamiz:
O'zgaruvchilarning o'zgarishini kiritamiz:
O'zgartirish formulalarini hisobga olgan holda,


Integratsiyani amalga oshirgandan so'ng biz Simpson formulasini olamiz:
Integral uchun olingan qiymat o'qi, to'g'ri chiziqlari va nuqtalari orqali o'tuvchi parabola bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya maydoniga to'g'ri keladi Segmentda Simpson formulasi quyidagicha bo'ladi:
Parabola formulasida f (x) funksiyaning x 1, x 3, ..., x 2n-1 qismlarning toq nuqtalaridagi qiymati x 2, x 4, juft nuqtalarida 4 koeffitsientiga ega. .., x 2n-2 - koeffitsient 2 va ikkita chegara nuqtada x 0 \u003d a, x n \u003d b - koeffitsient 1.
Simpson formulasining geometrik ma'nosi: segmentdagi f (x) funktsiya grafigi ostidagi egri chiziqli trapetsiya maydoni taxminan parabolalar ostida yotgan figuralar maydonlarining yig'indisi bilan almashtiriladi.
Agar f (x) funktsiya to'rtinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo'lsa, u holda Simpson formulasi xatosining mutlaq qiymati ko'pi bilan
bu erda M - segmentdagi eng katta qiymat. N 4 n 2 ga qaraganda tezroq o'sganligi sababli, Simpson formulasining xatosi trapetsiya formulasining xatosidan n tezroq ortishi bilan kamayadi.
Biz integralni hisoblaymiz
Ushbu integralni hisoblash oson:

Biz 10 ga teng n ni olamiz, h \u003d 0,1, bo'linma nuqtalaridagi integralning qiymatlarini va yarim butun sonlarni hisoblaymiz.
O'rta to'rtburchaklar formulasiga binoan biz I \u003d 0,785606 (xato 0,027%), trapezoid formulasi bo'yicha trap \u003d 0,784981 (xato taxminan 0,054 ga teng. O'ng va chap to'rtburchaklar usulidan foydalanganda xato 3% dan ortiq.
Taxminan formulalarning aniqligini taqqoslash uchun yana integralni hisoblaymiz
ammo endi Simpson formulasi bo'yicha n \u003d 4. X 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 nuqtalari bo'yicha segmentni to'rtta teng qismga bo'ling va f funktsiyasining taxminiy qiymatlarini hisoblang. (x) \u003d 1 / (1 + x) bu nuqtalarda: y 0 \u003d 1.0000, y 1 \u003d 0.8000, y 2 \u003d 0.6667, y 3 \u003d 0.5714, y 4 \u003d 0.5000.
Simpson formulasidan foydalanib, biz olamiz
Olingan natijaning xatosini taxmin qilaylik. $ F (x) \u003d 1 / (1 + x) $ integrali uchun biz $ f (4) (x) \u003d 24 / (1 + x) 5 $ bo'lamiz, shuning uchun segmentda shunday bo'ladi. Shuning uchun biz M \u003d 24 ni qabul qilishimiz mumkin va natijaning xatosi 24 / (2880 4 4) \u003d 0.0004 qiymatidan oshmaydi. Taxminan qiymatni aniq bilan taqqoslab, biz Simpson formulasi bo'yicha olingan natijaning mutlaq xatosi 0,00011 dan kam degan xulosaga keldik. Bu yuqoridagi xato taxminiga mos keladi va qo'shimcha ravishda Simpson formulasi trapezoidal formuladan ancha aniqroq ekanligini ko'rsatadi. Shuning uchun aniq integrallarni taxminiy hisoblash uchun Simpson formulasi trapetsiya formulasidan ko'ra tez-tez ishlatiladi.
Muammo to'rtburchaklar formulalari deb ataladigan formulalar yordamida hal qilinadigan aniq integralni raqamli hisoblashda paydo bo'ladi.
Raqamli integratsiya uchun eng oddiy formulalarni eslaylik.
Keling, taxminiy son qiymatini hisoblaymiz. Integratsiya oralig'ini [a, b] bo'linish nuqtalari bo'yicha n teng qismga ajratamiz
kvadratura formulasining tugunlari deb ataladi. Tugunlarga qiymatlarni bilib qo'ying
:


Miqdor

integratsiya oralig'i yoki qadam deb nomlanadi. E'tibor bering, hisob-kitoblar amaliyotida i raqami kichik tanlanadi, odatda u 10-20 dan oshmaydi.

integrand interpolyatsion polinom bilan almashtiriladi


ko'rib chiqilgan intervalda taxminan f (x) funktsiyani ifodalaydi.
a) Interpolatsiya polinomida faqat bitta birinchi hadni saqlaymiz, keyin


Olingan kvadrat formulasi
to'rtburchaklar formulasi deb nomlangan.
b) dastlabki ikkita hadni interpolatsiya polinomida saqlang, keyin
(2)
Formula (2) trapetsiya formulasi deb ataladi.
c) integratsiya oralig'i
juft songa teng qismlarga bo'linadi va integratsiya bosqichi h ga teng bo'ladi  ... Intervalda
uzunligi 2 soat bo'lsa, biz integralni ikkinchi darajali interpolatsiya polinomiga almashtiramiz, ya'ni polinomda dastlabki uchta hadni saqlaymiz:

Olingan kvadratsiya formulasi Simpson formulasi deb ataladi
(3)
(1), (2) va (3) formulalar oddiyga ega geometrik ma'no... To'rtburchak formulasida, integral (f) (x) intervalda
absissa o'qiga parallel ravishda y \u003d yk to'g'ri chiziq bo'lagi bilan, trapetsiya formulasida esa - to'g'ri chiziq bo'lagi bilan almashtiriladi
va to'rtburchaklar va to'g'ri chiziqli trapeziya maydoni mos ravishda hisoblab chiqiladi, keyinchalik ular jamlanadi. Simpson formulasida intervaldagi f (x) funktsiya
uzunligi 2 soat bo'lgan kvadrat trinomial - parabola bilan almashtiriladi
egri chiziqli parabolik trapetsiya maydoni hisoblab chiqiladi, so'ngra maydonlar umumlashtiriladi.
Xulosa
Ish oxirida men yuqorida ko'rsatilgan usullarni qo'llashning bir qator xususiyatlarini ta'kidlashni istardim. Muayyan integralni taxminiy echimi uchun har bir usul o'ziga xos afzalliklari va kamchiliklariga ega, chunki vazifaga qarab, aniq usullardan foydalanish kerak.