O‘ng tomoni maxsus ko‘rinishda bo‘lgan tenglamalar

II hol. α+iβ kompleks son (17) xarakteristik tenglamaning ildizidir. Bu holda (1) differensial tenglamaning y* xususiy yechimi
y*= x[V_r(x)e^αxcosβx+ U_r(x)e^αxsinβx] (21)
ko‘rinishda izlanadi.
Shuni ta’kidlab o‘tish lozimki, agar (19) ifodada P_n(x) va Q_n(x) ko‘phadlardan biri aynan nolga teng , ya’ni
f(x)=P_n(x)e^αxcosβx yoki f(x)= Q_m(x)e^αxsinβx
bo‘lganda ham y* xususiy yechim I holda (20) va II holda (21) ko‘rinishda izlanadi.
Misol sifatida, y′′–3y′+2y=–4e^2xsin3x differensial tenglamaning y* xususiy yechimini topamiz. Bu yerda tenglamaning o‘ng tomoni
f(x)=P(x)e^2xcos3x+Q(x) )e^2xsin3x , P(x)≡0 , Q(x)≡ –4
ko‘rinishda bo‘lib, unda α=2, β=3 va α+iβ=2+3i kompleks son λ²–3λ+2=0 xarakteristik tenglamaning λ₁=1 va λ₂=2 ildizlariga teng emas. Shu sababli y* xususiy yechimni ham f(x) kabi, ya’ni
y*=e^2x (Asin3x+Bcos3x)
ko‘rinishda deb olamiz. Bu yerda P(x) va Q(x) ko‘phadlar nolinchi darajali, ya’ni sonlardan iborat bo‘lgani uchun, U(x)=A va V(x)=B va deb olindi. Bu yerda
(y*)′=[(3A+2B)cos3x+(2A–3B)sin3x]e^2x ,
(y*)′′=[(12A–5B)cos3x–(5A+12B)sinx]e^2x
natijalar va berilgan tenglamadan foydalanib,
y′′–3y′+2y=[(3A–9B)cos3x–(9A+3B)sin3x]e^2x=–4e^2xsin3x ,
(3A–9B)cos3x–(9A+3B)sin3x=­–4sin3x
tenglikni hosil etamiz. Bu yerda sin3x va cos3x oldidagi koeffitsiyentlarni tenglashtirib,

natijani olamiz. Demak berilgan tenglama uchun

xususiy yechim bo‘ladi. Tegishli bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi

bo‘lgani uchun berilgan bir jinslimas differensial tenglamaning umumiy yechimi

ko‘rinishda bo‘ladi.
Differensial tenglamalarning amaliy tatbiqlarida (masalan, majburiy tebranishlarni o‘rganishda) o‘ng tomoni biz qarab chiqqan (19) funksiyaning xususiy holi bo‘lgan
уўў + а₁ уў +а₂ у=Mcosβx+ Nsinβx (22)
ko‘rinishdagi II tartibli bir jinslimas o‘zgarmas koeffitsiyentli differensial tenglamalar ko‘p uchraydi.
Bunday tenglamalarni integrallashda ham ikki hol bo‘ladi.
1) iβ soni (17) xarakteristik tenglamaning ildizi emas. Bu holda (22) tenglamaning xususiy yechimi
y*= Acosβx+ Bsinβx
ko‘rinishda izlanadi.
Masalan, у′′+ у′–2у=cosx–3sinx tenglamada β=1 bo‘lib, iβ=i soni λ²+ λ – 2=0
xarakteristik tenglamaning λ₁=–2 , λ₁=1 ildizlariga teng emas. Demak, xususiy yechimni y*= Acosx+Bsinx ko‘rinishda izlanadi. Bu funksiyani berilgan tenglamaga qo‘yib, noma’lum koeffitsiyentlar usulida A=0 , B=1 ekanligini topamiz.
Shu sababli bu tenglamaning xususiy yechimi y*=sinx , umumiy yechimi esa