Операторлар назариясидан бошланғич маълумотлар

Операторлар таърифи

Функциялар бир сон (сонлар)ни иккинчи сон (сонлар) билан боғлашга хизмат қилади. Операторлар эса бир функцияни иккинчи функция билан боғлайди.

Бирор функцияга муносиб (мос) келган бошқа функцияни қўйиш қоидаси оператор дейилади. Операторлар одатда тепасида -белгиси бўлган харфлар билан белгиланади. Масалан, ва ҳакозо. Агар оператор қоидани ифодаласа, у ҳолда бу қоидага биноан функцияга мос бўлган бошқа функцияни қўйиш
(1)
шаклда ёзилади. Масалан, функцияга мос келган функцияни қўйиш дифференцияллаш оператори ёрдамида бажарилади; яъни:
(2)


Чизиқли операторлар

Бирор функцияга муносиб (мос) келган бошқа функцияни қўйиш қоидаси турлича бўлиши мумкин. Бу дегани операторлар турли-туман хоссаларга эга бўлиши мумкин. Суперпозиция принципини қаноатлантириш учун квант механикада фақат чизиқли операторлар ишлатилади. -чизиқли оператор бўлиши учун қўйидаги шартга

(3)
бўйсуниши лозим. Бунда -ҳақиқий ёки комплекс сонлар. (3) шарт бажарилганда суперпозицич принципининг талаба бажарилади.
Операторлар йиғиндиси ва кўпайтмаси

Исталган функция учун

(4)
амаллар ўринлидир. (4) да
(5)
Операторларни алгебраик йиғиндиси (айирмаси)нинг хоссалари алгебраик сонларнинг йиғиндиси (айирмаси) хоссалари кабидир. Бироқ операторлар кўпайтмасининг хоссаси алгебраик сонларнинг кўпайтмасидан фарқ қилади.
Операторлар кўпайтмаси кўпайтувчиларнинг жойлашиш тартибига боғлиқ, яъни
. (6)
(6) шартга бўйсунган операторлар нокоммутатив операторлар дейилади, аксинча
(7)
қоидасига бўйсунган операторлар коммутатив операторлар деб аталади. Масалан: -оператор сифатида х-координатани, -оператори сифатида дифференциаллаш операторини олайлик, яъни у ҳолда ва ни кўпайтмаси
(8)
деб ёзиш мумкин. Бу кўпайтмани функцияга қўллайлик: ва аксинча операторини га қўлласак бўлади. Бундан кўринадики
. (9)
Демак, бу ҳолда коммутативлик хосса бажарилмайди.