Операторлар назариясидан бошланғич маълумотлар

Чизиқли қўшма эрмит операторлар

Операторлар ва уларнинг хусусий функциялари комплекс кўринишида, яъни га (мавхум бирга) эга бўлиши мумкин. Бироқ физикавий катталиклар доимо ҳақиқий. Шунинг учун ҳам физикавий катталикларга операторларнинг фақат ҳақиқий қийматлари мос келиши керак. Бу операторларга қўшимча шарт қўяди. Квант механикасида исталган чизиқли операторлар эмас, балки фақат қўшма ёки эрмит операторлари ишлатилади.

Операторлар қўшма (эрмит) бўлиши учун қуйидаги шарт бажарилиши керак.
(14)
(14) тенгликда оператор символига комплекс қўшма (*) белгиси қўйилганда, нинг ўринлари алмашади, улардан бири ( ) оператор символидан ташқарига, иккинчиси ( ) эса, унинг ўрнига ёзилади. (*) белги математик катталик (сон, функция, оператор)га қўйилган бўлса, бу мавхум катталик олдидаги ишора ўзгаришини характерлайди. Ҳақиқий катталик учун тенглик ўринли.
Эрмит операторларнинг хусусий қийматлари доимо ҳақиқий сонлардир. Бунинг исботи қуйидагича:
(15)
га кўра деб

ёки
.
Қўшма операторнинг хусусий қиймати ҳақиқийдир. Эрмит операторнинг бу хоссаси квант механикада асосий ўрин тутади.
Мисол кўрайлик. оператори эрмит оператори эмас эканлигини исбот қиламиз. Ҳақиқатан ҳам ва функциялар чексизликда нолга интилсалар, у ҳолда бўлаклаб интеграллаш формуласига биноан

ёки бунда

эканлиги келиб чиқади.
Дифференциал операторининг бу камчилигини йўқотиш учун уни мавхум бир сонига кўпайтириш кифоя, яъни -оператори чизиқли эрмит операторидир.


Операторларни дирак символлари орқали ёзиш


ифодаларни ихчам шаклда Дирак таклиф этган шаклда ёзиш мумкин, яъни
(16)
Агар функциялар индекслар орқали характерланган бўлса, Дирак қавсларида фақат шу индесклар қўйилади.