Определение Каноническим видом эрмитовой квадратичной формы называется выражение вида где координаты вектора, а вещественные канонические коэффициенты

Пример. Приведем к каноническому виду методом Якоби квадратичную форму
.
Матрица квадратичной формы
.
Главные миноры матрицы
.
Поэтому
,
где  - координаты вектора в каноническом базисе.
1.3.Приведение квадратичной формы к каноническому виду в ортонормированном базисе
Пусть  - эрмитова квадратичная форма, заданная в унитарном (евклидовом) пространстве. С помощью некоторого невырожденного линейного преобразования она может быть приведена к каноническому виду, причем выбор канонического базиса неоднозначен. Оказывается, что для эрмитовой квадратичной формы среди всех канонических базисов существует и ортонормированный базис.
Так как - матрица квадратичной формы является эрмитовой (самосопряженной), то она представима в виде
,
где  - собственные значения, а  - ортонормированная матрица собственных векторов матрицы А. Введем новые переменные (новые координаты вектора ) соотношениями
.
В новых переменных квадратичная форма
.
Таким образом, для приведения квадратичной формы к каноническому виду необходимо найти собственные значения матрицы А, которые и являются каноническими коэффициентами. Если нужна также связь между старыми и новыми координатами вектора , то нужно найти ортонормированную матрицу собственных векторов.
Пример. Найдем канонический вид в ортонормированном базисе квадратичной формы
.
Матрица квадратичной формы
.
Для определения канонических коэффициентов составим и решим характеристическое уравнение
.
Откуда  , и канонический вид квадратичной формы
.
Найдем связь между старыми и новыми координатами вектора . Собственные векторы матрицы А при  определяются уравнением
,
линейно независимые решения которого, например, векторы
.
Координаты третьего собственного вектора определяются системой

которая имеет решение  . Применяя к полученным векторам процесс ортогонализации Грама - Шмидта, получим искомый ортонормированный базис
,
и связь между старыми и новыми координатами вектора

Пример 1:

Для квадратичных форм  и  определить базис, в котором одна из этих квадратичных форм имеет канонический вид, а другая квадратичная форма приводится к нормальному виду, и соответствующую замену координат.
Решение. Находим матрицы  и  квадратичных форм  и  соответственно:
,  .
Форма  является положительно определенной, так как главные миноры ее матрицы положительны.
Решим уравнение  :
,
,
,  ,  ,  .
Тогда канонический вид квадратичной формы  , а нормальный вид квадратичной формы  .
Для каждого из чисел  ,  решим матричное уравнение  .
При  получаем  ,

При  получим  . Тогда первый базисный вектор имеет вид  .
При  получаем  ,

При  получим  . Тогда второй базисный вектор имеет вид  .
По матрице  строим поляризацию  квадратичной формы  . Пусть  и  :
.
Симметрическая билинейная функция  задает скалярное произведение. Векторы  и  ортогональны относительно этого скалярного произведения:  . Тогда векторы  и  образуют ортонормированный базис относительно скалярного произведения, определяемого функцией  .
,
,
,
.
Тогда  ,  .
Запишем координаты векторов  и  в виде столбцов матрицы. Получим матрицу перехода:
.
Отсюда получаем замену переменных: