Optimal kvadratur formulalar

C₁(L) funksiyalar sinfida R_n(f qoldiq had uchun

bahoga ega bo’lamiz. Endi

ekanligini ko’rsataylik. Quyidagi

funksiya bo’lakli-uzluksiz hosila '(х) = L sign K_n (t)ga ega, '(х) = L(x x_k), ya’ni u qaralayotgan sinfda yotadi va

Bundan ma’lum bo’ladiki, qaralayotgan sinfda kvadratur formula xatosini minimallashtirish quyidagi

metrikada 1-t funksiyani (4) kurinishdagi funksiya bilan eng yaxshi yaqinlashtirish masalasigа keltiriladi. Endi

orqali belgilab olib,

tenglikka ega bo’lamiz. Agar q_k larni belgilangan deb olsak u
holda yig’indining k-had

faqatgina q_k ga bog’liq va bu integralni hisoblasak quyidagiga ega bo’lamiz:

Bundan esa,

Oxirgi ifodadan foydalanib, V(q_k) ni minimallashtirishni hisobga olsak oldingi ifodadan
(6)
kelib chiqadi. (5) ning o’ng tomonida V(q_k) miqdorlardan tashqari yana ushbu ifoda ham bor:

Bundan va (5) - (6) dan

Shunday qilib,

E ndi hosilalarni nolga tenglashtirib, quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:

Bu sistemaning yechimi esa

bo’lib,

Shunday qilib, qaralayotgan 0<х₁<х₂<...<х_n<1 soha ichida U(x_v..., х_п) ning ekstremal qiymatini topdik, lekin U(x_1,..., x_n) o’zining eng kichik qiymatiga bu sohaning chegarasida ham erishishi mumkin.
Bevosita tekshirib ko’rib mumkinki, U(x_1,..., x_n) ning topilgan qiymati uning minimal qiymatidir. Buning uchun

Koshi-Bunyakovskiy tengsizligida

deb olsak, u holda bo’lib,

yoki

tengsizlikni hosil qilamiz. Shunday qilib, ning minimal qiymati
bo’lib, bu qiymatgа

bo’lganda erishiladi. Bu va (7.2) dan kvadratur formulaning koeffitsientlari uchun mos ravishdagi quyidagi qiymatlarga ega bo’lamiz:

Shunday qilib, qaralayotgan sinfda optimal kvadratur formula umumlashgan o’rta to’g’ri to’rtburchak formulasi

bo’lib, uning xatoligi dan iboratdir.
Ayrim hollarda optimal kvadratur formula qurish paytida bu formula koeffisiyentlari yoki tugunlarining ma’lum shartlarni qanoatlantirishi, masalan tugunlarining muntazam taqsimlanishi talab qilinadi.
Endi [0,1] oraliqda uzluksiz, birinchi hosilasi kvadrati bilan jamlanuvchi, hamda

shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar sinfi ni qaraymiz. Bu sinfning har bir funksiyasini
(7)
ko’rinishda yozish mumkin va aksincha, agar f(0) ixtiyoriy son bo’lib, f'(x) o’lchanadigan [0,1] da kvadrati bilan jamlanuvchi bo’lsa va shart bajarilsa, u holda (7) bilan aniqlangan funksiya (L)sinfga qarashli bo’ladi. Endi (L) funksiyalar sinfida quyidagi ko’rinishdagi

optimal kvadratur formulani tuzish masalasini ko’rib chiqamiz. Bu yerda qoldiq hadi uchun

formulalarga ega bo’lamiz. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligini qo’llab topamiz:

Quyidagi funksiya

[0,1] da o’lchanadigan, kvadrati bilan jamlanuvchi va .
Demak, va uning uchun:

Shuning uchun ham

Shunday qilib, da optimal kvadratur formula tuzish uchun
koeffisiyentlarni shunday tanlashimiz kerakki, ushbu

ifoda minimal kiymatga ega bo’lsin. Ravshanki,

bunda

o’zining minimal qiimati ga larda erishishini payqash qiyin emas. Koeffisiyentlar uchun

qiymatlarga ega bo’lamiz. Shunday qilib , sinfida (8) ko’rinishdagi kvadratur formulalar orasida umumlashgan trapetsiya formulasi

optimal formula bo’lib, uning xatosi ga teng ekan.