O`quvchilarni algebraik masalalarni yechishga tayyorlash

2.2. Algebraik masalalarni yechish usullari

1-masala. Ikki ishchi ma`lum muddatda 120 ta detal tayyorlashlari kerak edi. Ishchilardan biri ikkinchisiga qaraganda saotiga 2 tadan ortiq detal tayyorlab topshiriqni 5 soat oldin bajardi. Har bir ishchi soatiga nechtadan detal tayyorlagan?

Yechish:
- birinchi ishchi ishlagan vaqti,
– ikkinchi ishchini ishlagan vaqti,
- birinchi ishchi tayyorlagan detallar soni,
- ikkinchi ishchi tayyorlagan detallar soni,
yuqoridagilarga asoslanib quyidagi tenglamani tuzishimiz mumkin.




= =

Bulardan I ishchi 20 soat ikkinchisi esa 15 soat ishlaganligi kelib chiqadi.
ta I ishchining 1 soatda tayyorlagan detallar soni.
= ta II ishchining 1 soatda tayyorlagan detallar soni.
Masalani yechib bo`lgandan keyin o`qituvchi masala mohiyatini quyidagi tartibda tushintirishi mumkin. Agar biror kishi topshirilgan ishni ortig`i bilan bajarsa, uning mehnat unumi ortib, unga to`lanadigan haq ham ortib boradi. Bu esa o`quvchilarni halol mehnatga muhabbat ruhida tarbiyalaydi.
2-masala. Oldingi bahosi 25 so`m bo`lgan buyum ketma-ket ikki marta bir xil foizga arzonlashgach, u 20 so`m 25 tiyinga tushib qoldi. Har bir arzonlashishda baho necha foiz pasaygan?
Yechish. Baho har safar % ga pasaygan bo`lsin. Ravshanki, 0 bo`ladi. Bu birinchi arzonlashishdan keyin buyum bahosi oldingi bahosining qismiga kamayganini bildiradi. Demak, birinchi arzonlashishdan keyin buyum so`m turadi. Ikkinchi arzonlashishdan keyin esa, buyum
so`m turadi.
lekin, ikkita arzonlashishdan keyin buyum 20 so`m 25 tiyin turadi, ya`ni so`m.
Demak, tenglamaga ega bo`lamiz.
Tenglamani ildizlarni topamiz. Bu yerda chet ildiz bo`ladi. Chunki 0 va masala shartini faqat 10 qanoatlantiradi. Demak, baho har safar 10% ga kamaygan bo`ladi.
Javob: Baho har safar 10% ga kamaygan.
3-masala. Uchta eritmada spirtning (masala bo`yicha) foiz miqdorlari geometrik progressiyani tashkil qiladi. Agar birinchi, ikkinchi va uchunchi eritmalarni 2:3:4 massa nisbatida aralashtirilsa, u holda 32% spirtli eritma hosil bo`ladi. Agar ularni 3:2:1 massa nisbatida aralashtirilsa, u holda 22% spirtli eritma olinadi. Har bir eritmada necha foiz spirt bor?
Yechish. Birinchi eritma ikkinchisida uchinchisida spirt bo`lsin. Masala shartiga ko`ra , , sonlar geometrik progressiya tashkil qiladi, shuning uchun bo`ladi,
Birinchi eritmaning 1 grammida g spirt, ikkinchi eritmaning 1grammida g va uchunchi eritmaning 1 grammida g spirt bor. Agar biz birinchi eritmadan 2 g, ikkinchi eritmadan 3 g va uchunchi eritmadan 4 g olsak, 9 g aralashma olinadi. Bu aralashmada g spirt bor. Masala shartiga ko`ra olingan aralashmaning 32% i spirtdan iborat, g spirt bor.
Bu shartlardan tenglama hosil bo`ladi.
Huddi shuningdek, tenglama ham hosil bo`ladi.
Yuqoridagilar asosida:

tenglamalar sistemasini hosil qilamiz va uni yechamiz.

Birinchi ikkita tenglamani y va z bo`yicha yechib va olingan qiymatlarni uchinchi tenglamaga qo`yib, tenglamani hosil qilamiz. Hosil bo`lgan tenglamani yechib uning, ildizlarini topamiz. Lekin ildiz masala shartini qanoatlantirmaydi, chunki unga mos qiymat manfiy bo`yicha bo`ladi. Demak, faqat qoladi. U holda bu qiymat bo`yicha va ekanligi oson topiladi.
Javob: Birinchi eritmada 12%, ikkinchi eritmada 24%, uchunchi eritmada 48% spirt bor.
4- masala. Ikki A va B shaharlar orasidagi masofani yo`lovchi poyezdi yuk poyezdiga qaraganda 4 soat tez bosib o`tadi. Agar poyezdlarning har biri ikkinchisining butun yo`lni o`tishga ketgan vaqt mobaynida yursalar, yo`lovchi poyezdda yuk poyezdidan 280 km o`zi ketadi. Agar poyezdlarning har biri tezligini 10 km/soat ga oshirsa, u holda yo`lovchi poyezdi AB masofani yuk poyezdiga qaraganda 2 soat 24 minut tezroq bosib o`tgan bo`lar edi. A va B shaharlar orasidagi masofani toping.

Yo‘lovchi poyezd







Yuk poyezd

A

B

1-chizma
Yechish: yo`lovchi poyezdining tezligini V₁ km/soat, yuk poyezdining tezligini V₂ km/soat, A va B shaharlar orasidagi masofani S bilan belgilaylik.

AB masofani yo`lovchi poyezdi soatda, yuk poyezdi soatda bosib o`tadi ( 1-chizma). Butun masofani yo`lovchi poyezdi yuk poyezdidan 4 soat tez bosib o`tishidan
(1)
tenglamaga ega bo`lamiz.
Agar poyezdlarning har biri ikkinchisi AB masofani o`tguncha yursa, yo`lovchi poyezdi V , yuk poyezdi esa V yo`l bosgan bo`lar edi (2- chizma).
Bunda yo`lovchi poyezdi yuk poyezdidan 280 km ilgarilab ketgani uchun

Yuk poyezd

Yo‘lovchi poyezd

A

B



2-chizma
(2)

tenglamaga ega bo`lamiz.

Agar poyezdlarning har birining tezligining 10 km/soatga oshirilsa, u holda yo`lovchi poyezdi AB masofani soatda, yuk poyezdi soat mobaynida bosib o`tar edi (3-chizma). Bu sharaoitda AB masofani yo`lovchi poyezdi yuk poyezdidan 2 soat 24 minut tez bosib o`tganligi uchun
(3)
tenglamaga ega bo`lamiz.



Yuk poyezd

Yo‘lovchi poyezd

A

B

3- chizma

Olingan tenglamalarni quyidagi sistema ko`rinishida yozamiz:
(4)
Bu uch noma`lumli uchta tenglamalar sistemasidan S ni topishimiz kerak.
Ko`rinib turibdiki, matnli masala uchun hosil qilingan matematik model uch noma`lumli uchta tenglamalar sistemasidan iborat bo`lgan standart ko`rinishdagi sistemaga keltiriladi. Demak, berilgan matnli masalani yechish uchun tenglamalar sistemasi yechilishi kerak ekan. Buning uchun talabalar tenglamalar sistemalarini yechish usullari sistemalarning teng kuchliligi, tenglamalar sistemalarining yechilishi, tenglamalar sistemasini ayniy almashtirishni va shu kabi bir qancha qoidalarini, teoremalarni, xossalarini eslaydilar va sistemani yechish uchun tadbiq etadilar, ratsional yechish yo`llarini izlaydilar. Bu esa talabalardagi kasbiy malaka va ko`nikmalarni rivojlantirishga olib keladi.
Talabalar (4) sistemani tahlil qilib, undan S ni osongina yo`qotib, ikki noma`lumli ikkita tenglamalar sistemasiga kelish mumkin ekanligini ko`radilar, ya`ni: ikkinchi tenglamani birinchi tenglamaga hadma-had bo`lib, V +V<sub>2</sub>=70 tenglamani; uchunchi tenglamani birinchi tenglamaga hadma-had bo`lib

tenglamani olish orqali
(5)
sistemaga kelinadi.
(5) sistemada tegishli ayniy almashtirishlarni va o`rniga qo`yishlarni bajargandan so`ng

sistemaga kelinadi. Bu sistemani yechishni qisqacha tahlil qilingandan so`ng , yoki ekanligi topiladi. Shu yerda masalaga bir nazar tashlasak, u holda yo`lovchi poyezdi yuk poyezdiga qaraganda katta tezlikka ega ekanligi yodimizga tushadi va sistema yechimlaridan masala shartini qanoatlantiruvchi , va ekanligi ravshan bo`ladi. U holda V<sub>1</sub> va V<sub>2</sub> larni bilgan holda S=480 km ni topamiz.
Javob: 480 km.
Ushbu masalada yo`lovchi poyezdining tezligini V₂ km/soat bilan, yuk poyezdining tezligini V₁ km/soat bilan belgilash orqali masalaning ikkinchi yechish usuli mavjud ekanligini talabalar ongli ravishda tushinib yetishlari va bu usul uchun hosil bo`ladigan matematik model ham uch noma`lumli uchta tenglamalar sistemasidan iborat bo`lishini sezishlari lozim.
5-masala. Jamoa xo`jaligidagi mavjud bo`lgan bir xil ish unumdorligiga ega bo`lgan kombaynlar birgalikda ishlab, hosilni bir sutkada yig`ishi mumkin. Lekin reja bo`yicha birinchi soatda bitta, ikkinchi soatda ikkita, uchunchi soatda uchta kombayn ishlagan va hokazo. Hamda faqat hosil yig`ini tugashiga bir necha soat qolgandagina barcha kombaynlar birga ishlagan. Agar beshta kombayndan tashqari barcha kombaynlar yig`im-terim boshidan ishlaganida edi, reja bo`yicha ish vaqti 6 soatga qisqargan bo`lar edi. Jamoa xo`jaligida nechta kombayn bo`lgan?
Yechish. Jamoa xo`jaligida ta kombayn bo`lsin, ularning har biri bir soatda hosilning qismini yig`ishtira olsin. U holda barcha kombaynlar birgalikda bir sutka ishlab barcha hosilni yig`ishi mumkin. Shuning uchun
(1)
tenglamani hosil qilamiz.
Amalda esa birinchi soatda bitta kombayn ishlab hosilning qismini yig`ishtirgan, ikkinchi soatda ikkita kombayn ishlab hosilning qismini yig`ishtirgan va hakoza. n-soatda n ta kombayn hosilning qismini yig`ishtirgan. Keyinchalik bir necha soat davomida (faraz, qilaylik, m soat) barcha kombaynlar ishlab, shu m soatda hosilning qolgan qismini yig`ishtirgan. Shuning uchun
(2)

tenglamani hosil qilamiz.

Kombaynlar hammasi bo`lib (n+m) soat ish vaqtida barcha hosilni yig`ishtirgan. Agar (n-5) ta kombayn ishlaganda edi, u holda ular hosilni (n+m-6) soatda yig`ishtirgan bo`lar edi. Shuning uchun
(3)
tenglamani hosil qilamiz.
Demak, biz quyidagi uch noma`lumli uchta tenglamalar sistemasiga ega bo`ldik:
(4)
(4) tenglamalar sistemasini berilgan matnli masalaning matematik modelini ifodalaydi. Bu sistemani yechish uchun, uning ikkinchi tenglamasiga arifmetik progressiya hadlari yig`indisini topish formulasini qo`llab uni
(5)
Ko`rinishiga keltiramiz. Bu sistemadan x ni yo`qotib va n 0 ekanligini e`tiborga olib ushbu
(6)
sistemani hosil qilamiz.
(6) sistemadan m ni yo`qotish natijasida n²-18n-175=0 ko`rinishdagi ga nisbatan kvadrat tenglamaga kelamiz. Bu tenglamani yechib n<sub>1</sub>=25 va n<sub>2</sub>=-7 ildizlarini topamiz. Jamoa xo`jaligidagi kombaynlar soni n bo`lgani uchun n musbat butun son bo`lishi kerak. Shunga ko`ra masala shartini faqat n=25 qanoatlantiradi.
Quyida keltirilgan masalalarning yechilishi jarayonida shu narsa ma`lum bo`ladiki, har qanday nostandart masalani yechish jarayoni quyidagi ikki asosiy operatsiyaning ketma-ket qo`llanilishi orqali amalga oshiriladi:
1. Nostandart masalani unga ekvivalent bo`lgan, lekin standart ko`rinishga ega bo`lgan masalaga ega bo`lgan masalaga almashtirish (bunda zarur bo`lgan masalaga almashtirishlar bajarish yoki masala mazmunini saqlagan holda matnning bayonini o`zgartirish);
2. Nostandart masalani bir nechta standart masalalarga bo`laklab o`rganish.
Masalaning murakkabligiga qarab bu operatsiyalarning birini yoki ikkilasini bir vaqtda tadbiq etish mumkin. Umuman matnli masalalarni yechish jarayoni o`ziga xos xususiyatlarga ega bo`lib, ularni quyidagilardan iborat deb bilamiz:
1. Berilgan masalani tahlil qilish orqali uning standart yoki nostandart turga mansub ekanligini aniqlash.
2. Masalaning yechish yo`lini izlash umumiy qoidalar (formulalar, ayniyatlar) yoki umumiy holatlar ( ta`riflar, teoremalar) asosida yechish rejasini (rejalarini) tuzish.
Foydalanilgan adabiyotlar:

1. 
   Y.M.Kolyagin «metodika prepodavaniya » 1977
   
2. 
   Ж.Икромов « язик обучение математики » T. 1989.
   

3 Tulaganov T., Narmanov A. « matematikadan masalalar yechish bo`yicha praktikum »
4. Тулаганов Т. «профессионалъная направленностъ математическая подгатовка будиших учитилей» T 1990.
5. Alixonov S « matematika o`qitish metodikasi » T 1989.