Основные арифметические операции в курсе математики начальной школы

Глава 2. Свойства арифметических операций.

Учитель начальных классов первым знакомит с различными операциями над числами и их свойствами. Чтобы грамотно обучать детей видеть перспективу развития алгебраических понятий в дальнейшем обучении школьников математике, учителю необходимо знать, что такое алгебраическая операция, какими свойствами она может обладать.

Рассмотрим свойства алгебраических операций, определив их в общем виде. Обозначим алгебраические операции символами: * (звездочка) и ○ (кружок).

Важнейшим свойством алгебраических операций является свойство ассоциативности (сочетания).

Определение. Алгебраическая операция *, называется ассоциативной, если для любых элементов выполняется равенство

(a * b) * c = a * (b * c)

Например, ассоциативно сложение натуральных чисел: для любых натуральных чисел a, b и c выполняется равенство (a + b) + c = a + (b + c). Ассоциативно сложение рациональных и действительных чисел. Поэтому сумму нескольких чисел можно записывать без скобок.

a + b + c вместо (a + b) + c и a + (b + c).

Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством ассоциативности. Так, не является ассоциативным вычитание целых чисел (12 – 7) – 3 ≠ 12 – (7 – 3).

Ассоциативность алгебраической операции позволяет записывать без скобок все выражения, но переставлять входящие в это выражение элементы нельзя. Перестановка элементов возможна лишь в случае, когда операция коммутативна (переместительное свойство).

Определение. Алгебраическая операция * называется коммутативной, если для любых двух элементов a и b, выполняется равенство:

a * b = b * a

Примерами коммутативных операций могут служить сложение и умножение натуральных чисел, поскольку для любых натуральных чисел a и b выполняются равенства a + b = b + a, a ∙ b = b ∙ a. Эти равенства справедливы не только для натуральных чисел, но и для любых действительных чисел, следовательно, на множестве действительных чисел сложение и умножение тоже коммутативны.