Основные определения

Ответ. 
Зададим аргументу   приращение  . А тогда значение функции в новой точке .
П
Определение
риращением функции   в точке  , соответствующее приращению аргумента  , называется величина:


З
Пример
адание. Найти приращение функции  при  и
Решение. Подставляя в формулу, получаем, что приращение функции:

Ответ. 

2. Определение производной

П
Определение
роизводной  от функции  в точке  называетсяпредел отношения приращения функции  к приращению аргумента  : при  , если он существует, то есть:

или

З
Пример
адание. Найти производную функции  в точке  .
Решение. Найдем приращение заданной функции в точке   :


Тогда

Ответ. 

3. Дифференцирование функции

О
Определение
перация нахождения производной функции называетсядифференцированием этой функции.
Функция   имеет производную на интервале   или называется дифференцируемой в этом интервале, если производная  существует в каждой точке этого интервала.
Функция   имеет в точке   бесконечную производную, если в этой точке   .
(
Теорема
О непрерывности функции в точке)
Если функция   имеет конечную производную в точке   , то она непрерывна в этой точке.
Замечание. Обратное заключение не всегда верно: если функция   непрерывна в некоторой точке   , то она может и не иметь производной в этой точке.
Ф
Определение
ункция  называется дифференцируемой в точке  , если приращение функции, соответствующее приращению аргумента, можно представить в виде:

где   - число, не зависящее от  ,   - б.м. функция при .
(
Теорема
О необходимом и достаточном условии дифференцируемости)
Для того чтобы функция   была дифференцируемой в точке  , необходимо и достаточно, чтобы   имела в этой точке конечную производную.
Теорема устанавливает, что для функции   дифференцируемость в данной точке   и существование конечной производной в этой точке - понятия равносильные.