Основные понятия 1 Немного истории. Проективные свойства

Параллельность и бесконечность

Внимательное рассмотрение изложенного в предыдущем параграфе обнаруживает, что во многих случаях приведённая аргументация теряет силу – именно, тогда, когда прямые, точка пересечения которых нужна для построения, оказываются параллельными. Например, построение четвёртой гармонической точки D становится невыполнимым, если прямая IF параллельна AB. Геометрические рассуждения на каждом шагу затруднены тем обстоятельством, что параллельные прямые не имеют общей точки, и потому всякий раз, когда речь идёт о пересечении прямых, приходится отдельно рассматривать и особо оговаривать случай параллелизма. С другой стороны, если производится проектирование, мы вынуждены различать и трактовать независимо рядом с центральной также и параллельную проекцию. Если бы из такого положения не было выхода, то проективная геометрия, будучи вынуждена вникать в детальное исследование каждого встречающегося исключения и особого случая, неизбежно была бы чрезвычайно усложнена. Всё это побуждает искать выход в ином направлении, именно, на пути такого обобщения основных понятий, которое устраняло бы возможные исключения.

Тут нам поможет геометрическая интерпретация; мы видим, что если прямая, пересекающая другую прямую, медленно вращается, приближаясь к положению параллельности, то точка пересечения двух прямых неограниченно удаляется. Это даёт повод к наивному утверждению: две прямые пересекаются «в бесконечно удалённой точке». Подобного рода формулировке существенно придать точный смысл с таким расчётом, чтобы с «бесконечно удалёнными», или, как иногда говорят, с «идеальными» точками можно было проводить точные и надёжные рассуждения, как с обыкновенными точками на плоскости или в пространстве. Иными словами, мы желали бы, чтобы все правила поведения точек, прямых, плоскостей оставались в силе и для «идеальных» геометрических элементов.
В математическом смысле существование «бесконечно удалённых точек» обеспечено, если отчётливо и без взаимных противоречий установлены математические свойства этих вновь вводимых элементов, т. е. их взаимоотношения с «обыкновенными» точками и между собой. Обыкновенно система геометрических аксиом (например, в евклидовой геометрии) вытекает путём абстракции из наблюдений над физическими объектами: таковы следы прикосновения карандаша к бумаге или мела к доске, натянутые нити, световые лучи, твёрдые стержни и т. п. Свойства, приписываемые аксиомами математическим точкам и прямым, представляют собой в высшей степени упрощённые и идеализированные описания поведения соответствующих им физических «двойников». Через любые два карандашных пятнышка можно провести не одну, а много карандашных «прямых». Если пятнышки становятся всё меньше по диаметру, то все такие «прямые» станут трудно отличимыми одна от другой. Вот что имеется в виду, когда в качестве геометрической аксиомы говорится, что «через любые две точки можно провести одну и только одну прямую»: мы при этом говорим об «абстрактных», чисто умозрительных, геометрических точках и прямых. Геометрические точки и прямые обладают гораздо более простыми свойствами, чем какие бы то ни было физические объекты. Упрощение является существенным условием, позволяющим строить геометрию как дедуктивную дисциплину.
Как уже было отмечено, обыкновенная геометрия точек и прямых весьма осложнена тем обстоятельством, что две параллельные прямые не имеют точки пересечения. Это побуждает нас сделать дальнейшее упрощение в структуре геометрии, расширяя понятие геометрической точки таким образом, чтобы устранить указанное исключение.
Итак, мы уславливаемся в том, что к обыкновенным точкам всякой прямой добавляем ещё одну, «идеальную», точку и будем считать эту точку принадлежащей одновременно всем прямым, параллельным данной, и никаким другим. Следствием такого условия является то, что всякая пара прямых на плоскости теперь уже пересекается в единственной точке: если прямые не параллельны, то в «обыкновенной» точке; если параллельны, то им обеим принадлежащей «идеальной» точке. По причинам интуитивного порядка эта идеальная точка на прямой называется бесконечно удалённой точкой на этой прямой.
Интуитивное представление о точке, удаляющейся в бесконечность по прямой линии, могло бы навести на мысль, что следует добавить две идеальные точки на каждой прямой – по одной для каждого направления. Если мы добавляем только одну, то лишь потому, что мы заинтересованы в сохранении закона: через каждые две точки проходит одна и только одна прямая. Если бы прямая содержала две бесконечно удалённые точки вместе со всеми, ей параллельными, то вышло бы, что через две такие «точки» проходит бесконечное множество прямых.
Мы уславливаемся также в том, что к обыкновенным прямым на плоскости добавляем ещё одну «идеальную», так называемую «бесконечно удалённую» прямую, содержащую все бесконечно удалённые точки плоскости и никаких других. Мы вынуждены принять именно такое условие, если хотим сохранить первоначальный закон – «через всякие две точки проходит одна прямая» и вновь утверждённый закон – «всякие две прямые пересекаются в одной точке». В самом деле, возьмём две какие-нибудь идеальные точки. Единственная прямая, которая должна проходить через эти точки, не может быть обыкновенной прямой, так как по принятому условию каждая обыкновенная прямая содержит только одну идеальную точку. С другой стороны, эта прямая не может содержать обыкновенных точек, так как через обыкновенную точку и одну из идеальных точек непременно прошла бы обыкновенная прямая. Наконец, рассматриваемая прямая непременно содержит все идеальные точки, так как мы хотим, чтобы она имела одну общую точку со всякой обыкновенной прямой. Итак, прямая, о которой идёт речь, неизбежно должна обладать как раз всеми теми свойствами, которыми мы наделили идеальную прямую в нашей плоскости.

Согласно принятым условиям, каждая бесконечно удалённая точка определяется или представляется семейством параллельных прямых, точно так же как иррациональное число определяется последовательностью «вложенных» рациональных отрезков. Такого рода условный способ описывать параллельность с помощью терминов, первоначально предназначенных для интуитивно отличных объектов, единственной своей целью имеет сделать излишним перечисление исключительных случаев. Эти последние теперь автоматически покрываются теми же терминами (и оборотами речи), которые первоначально употреблялись для «обыкновенных» случаев.

Из всего выше сказанного приходим к выводу, что проекция всякой прямой представляет собой прямую, поскольку к прямым присоединяется бесконечно удалённая прямая, образованная всеми бесконечно удалёнными точками плоскости.
Ещё одно замечание следует сделать по поводу двойных отношений с бесконечно удалёнными элементами. Будем обозначать символом ∞ бесконечно удалённую точку на прямой l. Посмотрим, как определяется символ (ABC∞), если A, B, C – три обыкновенные точки на l. Пусть P – некоторая точка на l; тогда (ABC∞) рассматривается как предел (ABCP), когда P удаляется в бесконечность по l. Но



и, когда P неограниченно удаляется,   стремится к 1. Отсюда вытекает определение:

В частности, если (ABC∞) = 1, то C есть середина отрезка AB: средняя точка отрезка и бесконечно удалённая точка, взятая в направлении отрезка, делят отрезок гармонически.