Основные понятия 1 Немного истории. Проективные свойства

3.2 Стереометрия помогает планиметрии

Задачи планиметрии, носящие проективный характер, то есть те задачи, в условии которых используются только понятия «точка лежит на прямой» или «прямая проходит через точку», можно решить с помощью стереометрии: представить чертёж задачи как проективное изображение некоторых пространственных фигур.

В этом пункте представлены задачи, которые относятся к проективной геометрии, но решаются с помощью выхода в пространство.
Задача 1:
На плоскости даны три параллельные прямые и три точки, не лежащие на одной прямой и не принадлежащие ни одной из трёх данных прямых. Построить треугольник так, чтобы его вершины лежали на трёх данных прямых, а каждая сторона (или её продолжение) проходила через одну из заданных точек.
Решение:
Будем рассматривать три данные параллельные прямые как параллельную проекцию рёбер треугольной призматической поверхности. Тогда задача сводится к построению сечения треугольной призмы плоскостью, проходящей через три данные точки.
Пусть a, b, c – три прямые, а M, N, P – три точки, о которых говорится в условии (рисунок 17). Построим некоторый треугольник ABC с вершинами на трёх заданных прямых. Будем считать этот треугольник основанием треугольной призмы.

Проводим из точек M, N, P перпендикуляры на AC, AB, BC соответственно, получаем точки Mʹ, Nʹ, Pʹ. Теперь проводим прямые MN и MʹNʹ до пересечения (аналогично PN и PʹNʹ). Получаем точки F и D. Это точки пересечения плоскости основания призмы с плоскостью искомого сечения, то есть на прямой DF лежат все общие точки этих плоскостей (по аксиоме стереометрии). Продолжаем прямую CB до пересечения с DF, получаем точку E.Теперь соединяем точку E с P до пересечения с прямой c. Таким образом, точка пересечения прямых b и EP есть точка Bʹ, а точка пересечения прямых c и EP – Cʹ. Соединяем точки Bʹ и N до пересечения с прямой a – это точка Aʹ. Осталось соединить Aʹ и Cʹ. Точка M будет лежать на AʹCʹ, так как она лежит в плоскостях AʹBʹCʹ и AʹCʹC. Таким образом, вершины треугольника AʹBʹCʹ лежат на прямых a, b, c соответственно, а точки M, N, P принадлежат сторонам этого треугольника, следовательно, AʹBʹCʹ – искомый треугольник.

Заметим, что каждая из трёх заданных точек M, N, P может принадлежать любой из трёх плоскостей данной призматической поверхности. Поэтому в общем случае задача может иметь 6 различных решений.
Задача 2:
На плоскости даны три луча, имеющие общее начало, и три точки, не лежащие на одной прямой и не принадлежащие ни одному из трёх данных лучей. Построить треугольник так, чтобы его вершины лежали на трёх данных лучах, а каждая сторона (или её продолжение) проходила через одну из заданных точек.
Решение:

Эта задача во многом аналогична предыдущей. Разница лишь в том, что нужно построить сечение треугольной пирамиды.

На рисунке 2 показано решение для одного из шести возможных случаев расположения точек M, N, P.
В итоге получаем, что треугольник AʹBʹCʹ – искомый, так как его стороны содержат точки M, N, P, а вершины лежат на данных лучах.
Таким образом, делаем вывод, что стереометрия может во много раз облегчить решения планиметрических задач и с её помощью некоторые вещи становятся очевиднее. Следовательно, и задачи проективной геометрии можно решать, выходя в пространство.
Задача 3:
Общие внешние касательные к трём окружностям пересекаются в точках A, B и C. Доказать, что эти точки коллинеарны.
Доказательство:
Решение состоит в выходе в пространство.

Обозначим центры окружностей O1, O2 и O3 (рисунок 19). Восстановим из точек O1, O2 и O3 перпендикуляры O1O1ʹ, O2O2ʹ и O3O3ʹ к плоскости, содержащей данные окружности, так, что O1O1ʹ=R1, O2O2ʹ=R2, O3O3ʹ=R3. Теперь ясно, что прямая O1ʹO2ʹ пересекает плоскость в точке A (подобие треугольников), прямая O1ʹO3ʹ – в точке B, прямая O2ʹO3ʹ – в точке C, таким образом, эти точки лежат на пересечении плоскости окружностей и плоскости O1ʹO2ʹ O3ʹ. Но пересечение двух плоскостей – прямая, таким образом, точки коллинеарны.