Основные понятия 1 Немного истории. Проективные свойства

3.3 Окружность переходит в окружность

Задача 4:

Доказать, что существует проективное преобразование, которое данную окружность переводит в окружность, а данную точку, лежащую внутри окружности, переводит в центр образа.
Доказательство:
Рассмотрим на координатной плоскости Oxz точки O(0;0), N(0;1), E(1;0). Для произвольной точки M, лежащей на дуге NE единичной окружности (рисунок 20), обозначим через P середину отрезка EM, а через точки Mʹ и Pʹ – точки пересечения прямых NM и NP соответственно с прямой OE.
Докажем, что для любого числа k > 2 можно выбрать точку M таким образом, что MʹE : PʹE = k. Пусть A(a;b) – произвольная точка плоскости, Aʹ(t;0) – точка пересечения прямых NA и OE, B(0;b) – проекция точки A на прямую ON. Тогда

Поэтому, если (x;z) – координаты точки M, то точки P, Mʹ, Pʹ имеют соответственно координаты

 

значит,

Ясно, что уравнение (2 – z)/(1 – z) = k имеет решение z = (k – 2)/(k – 1), причём k > 2, то 0 < z < 1, и, следовательно, точка   требуемая.

Докажем теперь основное утверждение задачи. Обозначим данные окружность и точку внутри неё соответственно через S и C. Если точка С является центром окружности S, то требуемым проективным преобразованием является тождественное преобразование. Поэтому будем считать, что C не центр. Обозначим через AB диаметр, содержащий точку C. Пусть для определённости BC > CA. Положим k = BA:AC. Тогда k > 2, и, следовательно, как было доказано, на единичной окружности в плоскости Oxz можно расположить точку M так, что MʹE:PʹE = k = BA:CA. Поэтому преобразованием подобия окружность S можно перевести в окружность S1, построенную в плоскости Oxy на отрезке EMʹ как на диаметре, так, чтобы точки A, B, C перешли соответственно в точки E, Mʹ, Pʹ. При стереографической проекции окружность S1 проецируется в окружность S2 на единичной сфере, которая симметрична относительно плоскости Oxz, а значит, и относительно прямой EM. Поэтому EM – диаметр окружности S2, а его середина – точка P – её центр. Пусть α – плоскость, содержащая окружность S2. Ясно, что при центральном проектировании плоскости Oxy на плоскость α из северного полюса единичной сферы окружность S1 перейдёт в S2, а точка Pʹ – в её центр P. [4]

Задача 5:
Доказать, что прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырёхугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.
Доказательство:

Пусть дан четырёхугольник ABCD, в который можно вписать окружность. Точки M, P, N, R – это точки касания вписанной окружности со сторонами четырёхугольника AB, BC, CD, AD соответственно (рисунок 21). Точка O – точка пересечения MN и PR. Тогда нужно доказать, что O также лежит на пересечении диагоналей AC и BD.

Из предыдущей задачи следует, что окружность с произвольной точкой O внутри с помощью проективных преобразований можно перевести в окружность с центром в этой точке. Таким образом, получаем окружность с центром в точке O = Oʹ (рисунок 22).

Проектированием переводим AB, BC, CD, AD в AʹBʹ, BʹCʹ, CʹDʹ, AʹDʹ соответственно. По законам проективной геометрии точки M, P, N, R перейдут в точки Mʹ, Pʹ, Nʹ, Rʹ касания четырёхугольника AʹBʹCʹDʹ с вписанной окружностью, и Oʹ будет лежать на пересечении MʹNʹ и PʹRʹ. Так как Oʹ центр окружности, следовательно, получившийся четырёхугольник симметричен относительно Oʹ, то есть AʹBʹCʹDʹ ромб.

Тогда диагонали ромба пересекаются в точке Oʹ, то есть AʹCʹ и BʹDʹ содержат эту точку. Следовательно, по закону принадлежности точки прямой при проектировании точка Oʹ (O) будет лежать на AC и BD данного четырёхугольника. А это именно то, что надо было доказать: прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырёхугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.