Основные понятия 1 Немного истории. Проективные свойства

3.4 Неравенство Птолемея

Задача 6:

Докажем для косого четырёхугольника ABCD

AC · BD < AB · CD + BC · AD, (3.4)

т. е. произведение длин его диагоналей меньше суммы произведений длин противоположных сторон.

Доказательство:
Воспользуемся известным фактом – следствием из соотношения Бретшнайдера:

Для любых четырёх точек плоскости имеет место неравенство:

AC · BD ≤ AB · CD + BC · AD,

причём знак равенства имеет место лишь в случаях, когда эти точки лежат либо на окружности, либо на прямой и пара (A,C) разделяет пару (B,D).

Спроектируем ортогонально диагональ BD четырёхугольника на плоскость ω, параллельную BD и содержащую диагональ AC (рисунок 23). Для четырёх точек A, B1, C, D1, лежащих в плоскости ω, имеем:

AC · B1D1 ≤ AB1 · CD1 + B1C · AD1.

По свойству ортогонального проектирования получаем, что AB1 < AB, CD1 < CD, CB1 < CB, AD1 < AD и B1D < BD. Поэтому неравенство (3.4) следует из предыдущего при замене отрезков большими. Случаи равенства не имеют места.

Заключение

В работе решены те задачи, которые поставлены во введении.

Проективная геометрия – это широкая область для изучения геометрии как науки в целом. Проективную геометрию нельзя просто выучить, её нужно понять, а в дальнейшем уметь применять в жизни.
С помощью проективной геометрии можно решать довольно не простые задачи планиметрии выходом в пространство. Ведь тогда некоторые вещи становятся очевиднее, а ответ приходит сам собой. Именно такие красивые задачи представлены в моей работе.
Также с помощью проективных преобразований я доказала интересное свойство описанного четырёхугольника: прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырёхугольника, проходят через точку пересечения его диагоналей.


Список литературы

1. 
   Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? – 3-е изд., испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2001. – 568 с.
   
2. 
   А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев. Геометрия: Учебное пособие. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. – 672 с.: ил.
   
3. 
   Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен. Наглядная геометрия, 1932. Перевод с немецкого С.А. Каменецкого. – Объединённое научно-техническое издательство НКТП СССР. Главная редакция общетехнической литературы и номографии, Москва, 1936, Ленинград. – 304 с.
   
4. 
   В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии: Учебное пособие. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006. – 640 с.: ил.
   
5. 
   А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Неожиданный шаг, или Сто тринадцать красивых задач: Методическое пособие. – К.: Агрофирма «Александрия», 1993. – 59 с.
   
6. 
   Я.П. Понарин. Элементарная геометрия: В 3 т. – Т. 3: Треугольники и тетраэдры. – М.: МЦНМО, 2009. – 192 с.: ил.
   
7. 
   А.П. Карп. Даю уроки математики…: Кн. для учителя: Из опыта работы. – М.: Просвещение, 1992. – 191 с.: ил.
   
8. 
   Я.П. Понарин. Элементарная геометрия: В 3 т. – Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. – М.: МЦНМО, 2004. – 312 с.: ил.