Основные понятия 1 Немного истории. Проективные свойства

2.2. Теорема Паскаля

Эта теорема формулируется так: если вершины шестиугольника лежат поочерёдно на двух пересекающихся прямых, то точки P, Q, R пересечения противоположных сторон этого шестиугольника коллинеарны (рисунок 13). (Контур шестиугольника может быть самопересекающимся. Что такое «противоположные» стороны, можно легко понять из схемы на рисунке 14.)

Выполняя предварительное проектирование, можно допустить, что P и Q ушли в бесконечность. Остаётся показать, что R также уйдёт в бесконечность. Ситуация иллюстрируется рисунком 3, где 23ǁ56 и 12ǁ45. Нужно показать, что 16ǁ34. Мы имеем



 

Поэтому

Так что 16ǁ34, что и требовалось доказать.

Глава 3. Приложения проективной геометрии

3.1 Пространственная интерпретация теоремы Дезарга

Приведём пространственную интерпретацию теоремы Дезарга. Пусть треугольник ABC будет основанием пирамиды с вершиной в точке O (рисунок 16), тогда треугольник AʹBʹCʹ – это сечение пирамиды, где AAʹ, BBʹ, CCʹ – рёбра.

Пусть прямые AB и AʹBʹ пересекаются в точке E, прямые AC и AʹCʹ – в точке F, прямые BC и BʹCʹ – в точке D (если же какие-то из этих соответственных сторон основания и сечения параллельны, то их точка пересечения бесконечно удалена). Так как плоскость основания и сечения имеют общую точку (например, точку E, ведь она принадлежит и плоскости ABC, и плоскости AʹBʹCʹ), то по одной из основных аксиом стереометрии, эти плоскости имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки. Но ведь точки F и D тоже принадлежат обеим плоскостям (ABC и AʹBʹCʹ), следовательно, точки F и D тоже лежат на общей прямой плоскостей основания и сечения, то есть точки E, F и D лежат на одной прямой.
А теперь посмотрим на рисунок 16 как на рисунок в плоскости листа. При этом получаем, что у двух треугольников вершины и соответственно стороны приведены в соответствие, прямые, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке, а доказали мы, что точки пересечения прямых, проходящих вдоль соответственных сторон, лежат на одной прямой.