O’zbekistan respublikasi informaciyaliq texnologiyalari ha’m kommunikaciylarin

Bólekli-úzliksizlik hám bólekli-differenciallanıwshılıq. f (x ) funkciya aralıqta berilgen bolsın. Bizge málim, bul funkciya noqatta úzliksiz bolsa, hámde a noqatta ońnan, b noqatta shepten úzliksiz bolsa, onda f (x) funkciya [ a,b ] segmentte úzliksiz delinetuǵın edi. Endi f (x ) funkciyanıń [a ,b ] da bólekli-úzliksizligi túsinigi menen tanısamız.

Eger [a ,b ] aralıqtı sonday

bóleklerge ajıratıw múmkin bolıp,  funkciya úzliksiz bolsa, hámde noqatlarda shekli oń
hám shep
limitlerge iye bolsa, onda f (x ) funkciya
[a , b] da bólekli-úzliksiz funkciya dep ataladı. Basqasha aytqanda, eger f (x ) funkciya [ a,b ] aralıqtıń shekli sandaǵı noqatlarınan basqa barlıq noqatlarında úzliksiz bolsa hám usı shekli sandaǵı noqatlardaǵı úzilisi bolsa birinshi túr úzilis bolsa, onda funkciya
[ a, b] da bólekli-úzliksiz dep ataladı. f( x) funkciya [a ,b ] da berilgen hám úzliksiz bolsın.
Bizge belgili, bul funkciya [ a,b ] da bólekli-úzliksiz boladı. Mısal. Mına
funkciyanı qarayıq. Eger [0, 2] aralıqtı [0, 1] hám [1, 2] bóleklerge ajıratsaq, onda [0, 1) hám (1, 2] bóleklerde berilgen funkciya úzliksiz, x 1 noqatta bolsa shekli oń hám shep limitlerge iye bolıwı tabıladı.
Demek, berilgen funkciya [0, 2] aralıqta bólekli-úzliksiz bolıp tabıladı (sızılmaǵa qarań).

Endi hár bir aǵzası un (x) =ancosnx+bnsinnx (n=0, 1, 2, 3..) garmonikadan ibarat.

(1)
funkcional' Katardı karaymız, ádette (2) Qatardı trigonometrik Katar dep ataymız. a0, a1, b2, b3,.. Sanlar bolsa trigonometrik qatardın koeficientleri dep ataladı. f (x) funkciya de berilgen ha’m bul aralıqta integrallanıwshı bolsın. Bul funkciyalardın integralların esaplap, olardı tómendegishe belgileymiz.
(2)
Bul sanlardan paydalanıp
(3)
Trigonometrik Qatardı dúzemiz.
Anıklama. a0, a1, b1, b2,... Koeficientleri (2) formula menen anıqlanǵan (3) trigonometrik Qatar f (x) funkciyanıń Fur'e Katarı dep ataladı al a0, a1, b1, b2,.. sanlar bolsa f (x) funkciyanıń Fur'e koeficientleri dep ataladı.
Jup hám taq funkciyalardın Fur'e Qatarı.
f (x) funkciya [-~] de berilgen jup funkciya bolsın. Ol [-~] de integrallanıwshı. Onda f (x) cosnx jup al f (x) sinnx bolsa taq funkciya boladı xám olar [-~] de integrallanıwshı boladı. (2) formuladan paydalanıp, f (x) funkciyanıń Fur'e koeficientlerin tabamız.

(4 )

Onda Fur'e Katarı Endi f (x) funkciya de berilgen taq funkciya bolsın ha’m ol bul aralıqta integrallanıushı bolsın. Bul jagdayda f (x) cosnx tak funkciya, f (x) sinnx bolsa jup funkciya boladı. (3) formuladan paydalanıp f (x) funkciyanıń fur'e koeficentlerin tabamız.

Onda Fur'e Qatarı

Mısal 1. . F(x)=x², (-x) F (x) =x2, funkciyanıń Fur'e qatarı jazılsın.

onda
mısal 2. . F(x)=x, (-x) funkciyanıń Fure qatarı jazılsın.

sonday eken

[-L, L] aralıqta berilgen funkciyanıń fur'e qatarı.

Biz joqarıda [-~] aralıqta berilgen funkciya ushın fure qatarı túsinigin kirittik. Bunday túsinikti erikli [-L, L] aralıqta berilgen funkciya ushın xám kirgiziw múmkin. f (x) funkciya [-L, L] de berilgen ha’m bul aralıqta integrallanıushı bolsın. Onda t= almastırıu [-L, L] aralıqtı [-~] aralıqqa ótkeredi. Eger
dep alınsa, (t) funkciyanı [-~] de berilgen xám bul aralıqta integrallanıwshı ekenligin ko'riw qıyın emes. Bul (t) funkciyanıń Fur'e qatarı tómendegishe boladı.

Bul jerde

Joqarıdaǵı almastırıwdı esapqa alsaq

bolıp unin koeficentleri

boladı. Nátiyjede k g’a iye bolamız. Bunda

(3) nıń on tárepindegi trigonometrik qatardı [-L, L] de berilgen f (x) tıń Fur'e qatarı daymiz. Al (74) Fur'e koeficientleri dep ataladı.
Lemma 1.[a, b] aralıqta berilgen hám integrallanıwshı erikli ((x) funkciya ushın
(4)
boladı.
Dálillew.[a,b] aralıqtın bazıbir p={x0, x1, x2, …xn} a=x0kóriniste jazıp s1 xám s2 qosıwshını bahalaymız. Eger funkciyanın [xk, xk+1], dagi shayqalıwı bolsa, s1 ushın

(5)
Teńsizlikke iye bolamız. Shárt boyınsha (x) funkciya [a, b] da integrallanıwshı onda >0 ushın sonday >0 tabılıp [a, b] aralıqtın diametri _p<  bolǵan xár kanday p bolınbe ushın
(5 )
Boladı. (r. t) hám (r. y) katnaslardan| (6) |s₁|</2
Boladı. Endi s2 kosılıwshını bahalaymiz
sonday eken boladı. Eger p nı jetkilikli úlken etip alsaq
(7)
boladı. Nátiyjede joqarıdaǵı katnaslardan jetkilikli ulken p ushın ekenligi kelip shıǵadı.
Sonday eken
Teoremma dálillendi.
Endi
(0 (x), (1 (x), (2 (x), …. (n (x) (8)
funkciyalardın xár biri [a,b] da berilgen xám bul aralıqta integrallanıwshı bolsın. Bul (8) funkciyalar sistemasın { (n (x) } dep belgileyik.