O‘zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovasiyalar vazirligi chirchiq davlat pedagogika universiteti

5.12-chizma

1.2. Aylanadagi metrik munosabatlar
7-teorema. Aylana ichidagi nuqtadan o‘tkazilgan hamma vatarlar uchun, har bir vatar kesmalarining ko‘paytmasi o‘zgarmas miqdordir.
Isboti. Aylananing AB va CD vatarlari K nuqtada kesishgan bo‘lsin (5.13- chizma). A va C, B va D nuqtalarni tutashtirib, ikkita, ACK va BDK ni hosil qilamiz. Bu uchburchaklarda vertikal burchaklar sifatida

hamda bitta AD yoyga tiralgan ichki chizilgan burchaklar sifatida

bo‘ladi. Demak, ikkita teng burchagi bo‘yicha ACK BDK. Bu uchburchaklar mos tomonlarining nisbatini tuzamiz: bu yerdan AK · BK = CK · KD talab qilingan tenglik olindi. Teorema isbotlandi.

3- natija. Agar doira ichidagi nuqtadan vatar va diametr o‘tkazilgan bo‘lsa, vatar kesmalarining ko‘paytmasi diametr kesmalarining ko‘paytmasiga teng bo‘ladi, ya’ni agar AB diametr va CD vatar K nuqtada kesishgan bo‘lsa (5.14-chizma),
AK · KB = CK · KD
tenglik o‘rinli.
8-teorema. Aylanadan tashqarida yotgan nuqtadan aylanaga kesuvchi va urinma o‘tkazilgan bo‘lsa, urinma kesmasining kvadrati kesuvchining uning tashqi qismiga ko‘paytmasiga teng, ya’ni agar AK — aylanaga urinmaning kesmasi va AB — shu aylananing kesuvchisi bo‘lsa (5.15- chizma),

Isboti . Berilgan A nuqtadan aylanaga urinish nuqtasi K gacha bo‘lgan kesma AK, AB aylanani kesuvchi, AC esa kesuvchining tashqi qismi bo‘lsin. K va C, K va B nuqtalarni tutashtirib, AKC va AKB ni hosil qilamiz. Bu uchburchaklar o‘xshash uchburchaklardir, AKC ⁓ AKB, chunki ∠A — ularning har ikkisi uchun umumiy hamda . O‘xshash uchburchaklarda mos tomonlar nisbatini tuzamiz:

Oxirgi tenglikdan talab qilingan,

munosabat kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.
4- natija. Agar aylanadan tashqarida yotgan nuqtadan unga kesuvchilar o‘tkazilgan bo‘lsa, har bir kesuvchi uzunligining uning tashqi qismi uzunligiga ko‘paytmasi berilgan aylana uchun o‘zgarmas miqdordan iborat (5.16- chizma):