O‘zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovasiyalar vazirligi chirchiq davlat pedagogika universiteti

2.2. To‘g‘ri chiziq va aylana
Tekislikda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi berilgan bo‘lsin. Aylana tenglamasini: 1) aylananing markazi A(a ; b) nuqtada, 2) aylananing radiusi R ekanligi ma’lum bo‘lganda, tuzamiz (5.22- chizma). Aylanada ixtiyoriy K nuqtani olamiz va uning koordinatalarini (x; y) deb belgilaymiz. Aylananing ta’rifiga ko‘ra, aylananing ixtiyoriy K(x; y) nuqtasi uchun AK = R tenglik bajariladi. A va K nuqtalar orasidagi masofani ularning koordinatalari orqali ifodalasak, aylananing tenglamasini

ko‘rinishda olamiz. Bu tenglikning har ikki tomonini kvadratga ko‘tarib, aylana tenglamasini

(1)
ko‘rinishda yozamiz. (1) tenglama aylananing kanonik tenglamasi deyiladi.


Agar aylananing markazi koordinatalar sistemasining boshi bilan ustma-ust tushsa, (1) tenglama

ko‘rinishni oladi.
1-masala. Agar aylana diametri AB ning uchlari koordinatalari A(–4; 2), B(6; 8) bo‘lsa, aylana tenglamasi tuzilsin (5.23-chizma). Yechilishi. Kesmani teng ikkiga bo‘lish formulalaridan aylana markazining koordinatalarini topamiz: So‘ngra aylananing radiusini topamiz:

Demak, bu holda aylana uchun (1) tenglama

ko‘rinishni oladi.
(1)
ko‘rinishda bo‘lgan aylana va umumiy tenglamasi
(2)
ko‘rinishda bo‘lgan to‘g‘ri chiziq berilgan bo‘lsin. To‘g‘ri chiziq va aylananing o‘zaro joylashuvini o‘rganish uchun ularning (1) va (2) tenglamalarini birgalikda qarash, ya’ni

tenglamalar sistemasini yechish zarur. Aylananing hech qanday uchta nuqtasi bir to‘g‘ri chiziqda yotmasligidan, quyidagi hollar bo‘lishi mumkin: a) to‘g‘ri chiziq va aylana umumiy nuqtaga ega emas (5.24- a chizma);

b) to‘g‘ri chiziq va aylana bitta umumiy nuqtaga ega, ya’ni to‘g‘ri chiziq aylanaga urinadi (5.24- b chizma); d) to‘g‘ri chiziq va aylana ikkita umumiy nuqtaga ega, ya’ni ular ikkita nuqtada kesishadi (5.24- d chizma). Aylananing markazi koordinatalar boshida bo‘lgan, ya’ni uning tenglamasi
(4)
to‘g‘ri chiziq esa
(5)
burchak koeffitsiyentli tenglama bilan berilgan holda, to‘g‘ri chiziqning aylanaga urinish shartini topamiz. Shu maqsadda yuqorida aytib o‘tilganiga ko‘ra

tenglamalar sistemasini tuzamiz va bu sistemani o‘rniga qo‘yish usulidan foydalanib, yechamiz:

Hosil qilingan (7) kvadrat tenglama uning diskriminanti nolga teng bo‘lganda yagona yechimga ega bo‘ladi. Bu shartni yozsak,

yoki


shart kelib chiqadi. Olingan (8) shartning o‘zi to‘g‘ri chiziqning aylana bilan kesishish shartidan iborat. Endi tenglamasi (4) ko‘rinishda berilgan aylana va tenglamasi
(9)
ko‘rinishda berilgan to‘g‘ri chiziqning o‘zaro joylashuvini qarab chiqamiz. Buning uchun, (6) ga o‘xshash tenglamalar sistemasini tuzib, yechamiz:

Ixtiyoriy k uchun 1 + k2 > 0 bo‘lganligidan, berilgan aylana koordinatalar boshidan o‘tuvchi (9) to‘g‘ri chiziq bilan koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo‘lgan ikkita nuqtada kesishadi. Nihoyat, to‘g‘ri chiziq koordinatalar boshidan o‘tmagan holni, ya’ni uning tenglamasi (5) ko‘rinishda bo‘lgan holni qarab chiqamiz. (6) ga o‘xshash tenglamalar sistemasini yechamiz:

Oxirgi sistemadagi kvadrat tenglamaning diskriminantini hisoblaymiz:

Agar D > 0, ya’ni bo‘lsa, kvadrat tenglama ikkita ildizga ega bo‘ladi va, demak, to‘g‘ri chiziq aylana bilan ikkita nuqtada kesishadi.
Agar D = 0, ya’ni bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq aylanaga urinadi.
Agar D < 0, ya’ni bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq aylana bilan umumiy nuqtaga ega bo‘lmaydi.