O‘zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovasiyalar vazirligi chirchiq davlat pedagogika universiteti

2-masala. Aylana 3 : 7 : 8 kabi nisbatdagi qismlarga bo‘lingan. Bo‘linish nuqtalaridan o‘tkazilgan vatarlar hosil qilgan burchaklar topilsin. Berilgan: (O, R) – aylana, AB : : BC : AC = 3 : 7 : 8. ∠ABC, ∠BCA, ∠BAC topilsin (5.25- chizma).

Yechilishi: Bo‘lish natijasida hosil bo‘lgan yoylarning umumiy o‘lchovini x deb qabul qilsak, AB = 3x, BC = 7x, AC = 8x. AC, BC, AC yoylar birgalikda aylanani qoplaganligidan.

tenglamani tuzamiz, undan

bo‘lishini olamiz. U holda,

Izlanayotgan ∠ABC, ∠BCA, ∠BAC ichki chizilgan bo‘lganligidan

bo‘ladi.
3-masala. Aylanadan tashqarida yotgan M nuqtadan MA va MB urinmalar o‘tkazilgan. Agar ∠BMA = 45° bo‘lsa, urinish nuqtalari orasidagi yoylar topilsin. Berilgan: (O, R) — aylana, MA, MB — urinmalar, ∠BMA = 45°. AKB, ADB topilsin (5.26- chizma). Yechilishi. Urinish nuqtalariga OA va OB radiuslarni o‘tkazamiz. Urinish nuqtasiga o‘tkazilgan radiusning xossasiga ko‘ra,

M nuqtani aylana markazi bo‘lgan O nuqta bilan tutashtiramiz. U holda MO ning nuqtalari BMA burchakning tomonlaridan teng uzoqlikda yotishi kerak. Demak, MO kesma ∠BMA burchakning bissektrisasi va shu sababli To‘g‘ri burchakli OMA dan

bo‘lishi kelib chiqadi.
4-masala. Uzunligi a va b bo‘lgan ikkita vatar o‘zaro kesishadi. Agar kesishish nuqtasida ikkinchi vatar m : n kabi kesmalarga bo‘linsa, birinchi vatarning kesmalari uzunliklari topilsin. Berilgan: (O, R) — aylana, AB, CD — vatarlar, AB CD = K, CK : KD = m : n, AB = a, CD = b. AK, BK topilsin (5.27- chizma). Yechilishi. Aylananing o‘zaro kesishuvchi vatarlari xossasiga ko‘ra, AK · KB = CK · CD. CD vatar kesmalari uchun o‘lchov birligini x deb, ular uchun CK = mx, KD = nx qiymatlarni olamiz. Shartga ko‘ra, CK + KD = b. Bundan

munosabatlarni hosil qilamiz. AK va KB kesmalar uzunligini topish uchun

ikki noma’lumli ikkita tenglamalar sistemasini tuzamiz. Modomiki, AK va KB kesmalarning yig‘indisi va ko‘paytmasi ma’lum ekan, ularning uzunliklari

kvadrat tenglamaning ildizlaridan iborat bo‘ladi. Kvadrat tenglamaning diskriminantini topamiz:

U holda,

Shunday qilib, AK va BK kesmalar, mos ravishda,

uzunlikka ega bo‘ladi, bunda shart bajariladi.
5-masala. Agar R radiusli aylananing radiusi a miqdorga orttirilsa, aylana uzunligi qanday o‘zgaradi?
Berilgan: (O, R), (O1, R + a) — aylanalar, C2—C1 topilsin.
Yechi1ishi. Berilgan birinchi aylananing uzunligi (5.28- chizma)

ikkinchisining uzunligi esa C2 = 2π(R + a) bo‘ladi. U holda

ya’ni aylana radiusi a miqdorga orttirilganda, aylana uzunligi 2πa miqdorga ortadi.
6-masala. Aylanaga yuzi Q ga teng bo‘lgan muntazam uchburchak ichki chizilgan, bu uchburchakka esa aylana ichki chizilgan. Hosil bo‘lgan halqaning yuzi hisoblansin.
Berilgan: muntazam ABC, = Q, (O, R) aylana ABC ga tashqi chizilgan. (O, r) aylana ABC ga ichki chizilgan. topilsin (5.29- chizma).
Yechilishi. R — tashqi chizilgan aylana radiusi, r — ichki chizilgan aylana radiusi bo‘lganda, halqaning yuzi

bo‘ladi. Muntazam ABC ning tomoni AB = a bo‘lsin. ABC ning yuzi

bo‘ladi. Uchburchakning tomonini berilgandan foydalanib topamiz:

ABC muntazam bo‘lganligidan, R + r = h bo‘ladi, bunda h — uchburchakning balandligi va R = 2r. So‘ngra,

bo‘lishini topamiz. Demak, halqaning yuzi

yoki

bo‘lar ekan.