O’zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi buxoro davlat pedagogika instituti “aniq fanlar” kafedrasi

Endi Q8 gruppaning barcha qism gruppalarini aniqlaymiz. Ta'kidlash joizki, uning xos qism gruppalari quyidagilardan iborat:H1 = {e,a2}, H2 = {e,a, a2,a3},

H3 = {e, a • b, a2, a3 • b}, H4 = {e, b, a2, a2 • b}.

Endi tartibi 8 ga teng bo'lgan ixtiyoriy G nokommutativ gruppani olaylik. |G\ juft son bo'lganligi uchun, G da tartibi 2 ga teng bo'lgan u 2 G element mavjud, ya'ni u2 = e. Ma'lumki, G gruppaning qolgan elementlari tartibi 2,4 va 8 ga teng bo'lishi mumkin.

Bunda [Q8 : H2] = [Q8 : H3] = [Q8 : H4] = 2 bo'lganligi uchun H2,H3 va H4 qism gruppalar Q8 ning normal bo'luvchilari bo'ladi. Bundan tashqari, H1 ning ham normal qism gruppa bo'lishini tekshirish qiyin emas. Demak, Q8 kvater- nion gruppasining ixtiyoriy qism gruppasi normal bo'lar ekan. Ushbu teoremada izomorfizm aniqligida D4 va Q8 dan boshqa tartibi 8 ga teng bo'lgan nokommu- tativ grupppa mavjud emasligini isbotlaymiz.

2.2.3-teorema. Izomorfizm aniqligida tartibi 8 ga teng bo'lgan 2 ta nokommutativ gruppa mavjud.

Isbot. Biz yuqorida D4 va Q8 gruppalarning tartibi 8 ga teng bo'lgan nokom- mutativ grupppalar ekanligini aytib o'tdik. Bundan tashqari Q8 gruppada tartibi 4 ga teng bo'lgan elementlar 6 ta bo'lsa, D4 gruppada esa bunday elementlar 2 tani tashkil qiladi. Demak, D4 va Q8 gruppalar izomorf emas.

Aytaylik, H = {e,a,a2,a3} bo'lsin, u holda [G : H] = 2 bo'lganligi uchun H C G. Demak, b 2 H element uchun G = H U Hb bo'lib, H \ Hb = 0. Ya'ni,

G = {e, a, a2, a3, b,a • b,a2 • b, a3 • b} = ha, b).

H C G bo'lganligi uchun b • a • b~1 2 H bo'lib, bundan esa, b • a • b~1 element e, a, a2 va a3 elementlardan biriga teng bo'lishi kelib chiqadi. Quyida bu element e,a,a2 elementlarga teng bo'lmasligini ko'rsatamiz. Chunki, agar

• b • a • b~1 = e bo'lsa, u holda a = e,

• b • a • b~1 = a bo'lsa, u holda a • b = b • a, ya'ni G kommutativ,

• b • a • b~1 = a2 bo'lsa, u holda a2 = e.

Ya'ni har uchala holda ham ziddiyatga keldik. Demak, b • a • b~1 = a3 bo'ladi, ya'ni b • a = a3 • b.

Bundan tashqari, |G/H| = 2 bo'lganligi uchun ord(Hb) = 2 bo'lib, b2 2 H ekanligi kelib chiqadi. Yuqoridagi kabi b2 ham H ning 4 ta elementidan biriga teng bo'lishi kerak. Agar b2 = a yoki b2 = a3 bo'lsa, u holda ord(b) = 8 bo'lib, G gruppa kommutativ bo'lib qoladi. Bu esa, ziddiyat. Demak, b2 = e yoki b2 = a2 bo'lishi kerak. Ushbu ikkala holda ham G = (a,b) gruppa nokommutativ gruppa bo'lib, mos ravishda D4 va Q8 gruppalarga izomorf bo'ladi.