O’zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi buxoro davlat pedagogika instituti “aniq fanlar” kafedrasi

2.3.2-teorema (izomorfizm haqidagi birinchi teorema). Agar f akslantirish gruppani G1 gruppaga o‘tkazuvchi gomomorfizm bo‘lsa, u holda G=Kerf∼=f(G)bo‘ladi.
2.3.1-teoremadan G gruppaning har bir G1 gomomorf obraziga yagona N normal qism gruppa mos kelib, G=N ∼= G1 bo‘lishi kelib chiqadi. Masalan, S3 gruppaning uchta gomomorf obrazi, shuningdek uchta normal qism gruppasi mavjud.Uning gomomorf obrazlari S3; Z2 va Z1 bo‘lsa, normal qism gruppalari esa,{e},A3 va S3 lardan iborat bo‘lib,
S3 ∼= S3=feg; Z2 ∼= S3=A3; Z1 ∼= S3=S3:
2.3.3-teorema. Aytaylik, G1 gruppa G gruppaning gomomorf obrazi bo‘lsin, u holda quyidagilar o‘rinli:
1) Agar G siklik gruppa bo‘lsa, u holda G1 ham siklik gruppa bo‘ladi.
2) Agar G kommutativ gruppa bo‘lsa, u holda G1 ham kommutativ gruppa
bo‘ladi.
3) Agar G gruppa chekli bo‘lib, G1 gruppada tartibi n bo‘lgan element mavjud bo‘lsa, u holda G gruppada ham tartibi n ga teng bo‘lgan element mavjud.
Isbot. Teoremaning 1 va 2-qismlari isboti 2.1.1-teoremaning 6-qismidan kelibchiqadi. Shuning uchun, biz faqat teoremaning 3-qismini isbotlaymiz.
Aytaylik, a1 2 G1 elementning tartibi n ga teng bo‘lsin. Agar n = 1 bo‘lsa,
u holda e 2 G biz qidirayotgan element bo‘ladi. Endi, n > 1 bo‘lgan holni
qaraylik. f : G ! G1 akslantirish syurektiv bo‘lganligi sababli, f(a) = a1
shartni qanoatlantiruvchi a 2 G element topiladi. G gruppaning tartibi chekli
bo‘lganligi sababli, ord(a) ham chekli bo‘lib, 2.1.1-teoremaning 7-qismidan ord(a1) soni ord(a) ning bo‘luvchisi ekanligi kelib chiqadi, ya’ni n j ord(a). U holdaord(a) = nt; t 2 N ) t < ord(a) ) at 6= e. Agar b = at deb olsak, u holda
bn = e bo‘lib, 1.1.1-teoremaga ko‘ra